クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+3 µC の電荷と −10 µC の電荷が 60 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 45 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +3 µCq2 = −10 µCr1 = 45 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 2 µC は直角の頂点に、q₁ = 6 µC はそこから一方の辺に沿って 4 cm の位置に、q₂ = 4 µC はもう一方の辺に沿って 3 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。
q1 = 6 µCq2 = 4 µCq3 = 2 µCr13 = 4 cmr23 = 3 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 ΩR4 = 3 ΩR5 = 5 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 5 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。
Vs = 15 VR = 5 ΩL = 22 mHt = 5 ms
W = mJ
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 5 V に充電されている。 t = 20 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 20 VR = 2.2 kΩC = 10 µFvC(0) = 5 Vt = 20 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
陽子 が、0.5 T の一様な磁場に垂直に 6 × 10⁵ m/s で動きます。その円軌道の半径 r を求めてください。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁵ m/sB = 0.5 T
r = cm
8.磁場と電磁誘導むずかしい
250 巻き、8 cm × 15 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.3 T の一様な磁場の中で 1200 rpm で回転します。起電力の実効値 Erms を求めてください。
N = 250A = 8 cm × 15 cmB = 0.3 Tn = 1200 rpm
Erms = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF
P = W
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 100 µF
VC = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 4.129 × 10⁶ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.45² = 133185 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.15² = 3.996 × 10⁶ N/C
向きと合成
1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。
E = |133185 + 3.996 × 10⁶| = 4.129 × 10⁶ N/C
答え
E = 4.129 × 10⁶ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: F = 104.6 N
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
q₃ にはたらく各力
F1 = k·6·2 × 10⁻¹²/0.04² = 67.42 N
F2 = k·4·2 × 10⁻¹²/0.03² = 79.91 N
ベクトル和
F = √(67.42² + 79.91²) = 104.6 N
答え
F = 104.6 N
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 14.64 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 20 + 2 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 3·22/(3+22) = 2.64 Ω
Req = R1 + 2.64 = 12 + 2.64 = 14.64 Ω
答え
Req = 14.64 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.6367 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 5 + 3 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 2.182 Ω
R3 + 2.182 = 32.18 Ω
R2 ∥ 32.18 = 3.558 Ω
Req = R1 + 3.558 = 20 + 3.558 = 23.56 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 15/23.56 = 0.6367 A
答え
IR1 = 0.6367 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: W = 45.65 mJ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 22 mH / 5 Ω = 4.4 ms
i(∞) = Vs/R = 15/5 = 3 A
指定時刻の電流
i(t) = 3·(1 − e−5/4.4) = 2.037 A
蓄積エネルギー
W = ½·L·i² = ½·22·2.037² = 45.65 mJ
答え
W = 45.65 mJ
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 13.96 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 10 µF = 22 ms
vC(t) = 20 + (5 − 20)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(20) = 20 + (−15)·e−20/22 = 13.96 V
答え
vC = 13.96 V
7.磁場と電磁誘導
答え: r = 1.253 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力のつり合い
磁気力は常に速度に垂直なので、軌道を曲げて円にします。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 1.673 × 10⁻²⁷·6 × 10⁵/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.5) = 0.01253 m = 1.253 cm
答え
r = 1.253 cm
8.磁場と電磁誘導
答え: Erms = 79.97 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
角速度と面積
ω = 2π·1200/60 = 125.7 rad/s
A = 0.012 m²
ピーク起電力
E₀ = NBAω = 250·0.3·0.012·125.7 = 113.1 V
実効値
Erms = 113.1/√2 = 79.97 V
答え
Erms = 79.97 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: P = 1.149 W
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 12.57 Ω, XC = 338.6 Ω
インピーダンス
|Z| = √(50² + (−326.1)²) = 329.9 Ω
有効電力
コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。
I = 50/329.9 = 0.1516 A
P = I²·R = 0.1516²·50 = 1.149 W
答え
P = 1.149 W
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 73.81 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−16.12)²) = 43.13 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 100/43.13 = 2.319 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 2.319·31.83 = 73.81 V
答え
VC = 73.81 V
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