クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+4 µC と +2 µC の電荷が 50 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+4 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。
q1 = +4 µCq2 = +2 µCd = 50 cm
x = cm
2.クーロンの法則と電場むずかしい
3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 1 µC は直角の頂点に、q₁ = 1 µC はそこから一方の辺に沿って 6 cm の位置に、q₂ = 3 µC はもう一方の辺に沿って 8 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。
q1 = 1 µCq2 = 3 µCq3 = 1 µCr13 = 6 cmr23 = 8 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 ΩR5 = 25 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 t = 30 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 12 VR1 = 4.7 kΩR2 = 6.8 kΩC = 10 µFt = 30 ms
vC = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 2 V に充電されている。 t = 200 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 9 VR = 3.3 kΩC = 33 µFvC(0) = 2 Vt = 200 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
4 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、逆向きに 5 A と 30 A の電流が流れています。両者のちょうど中間の点 P での磁束密度の大きさ B を求めてください。
I1 = 5 AI2 = 30 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁場と電磁誘導むずかしい
速度選択器では、直交する電場 E = 2 × 10⁴ V/m と磁場 B = 0.25 T によって、1 つの速さのイオンだけがまっすぐ通り抜けます。その速さ v を求めてください。
E = 2 × 10⁴ V/mB1 = 0.25 T
v = m/s
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 100 mH
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
I = A
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: x = 29.29 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
電場が等しい
4/x² = 2/(50 − x)²
(50 − x)/x = √(2/4) = 0.7071
位置
x = 50/(1 + 0.7071) = 29.29 cm
答え
x = 29.29 cm
電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。
2.クーロンの法則と電場
答え: F = 4.898 N
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
q₃ にはたらく各力
F1 = k·1·1 × 10⁻¹²/0.06² = 2.497 N
F2 = k·3·1 × 10⁻¹²/0.08² = 4.214 N
ベクトル和
F = √(2.497² + 4.214²) = 4.898 N
答え
F = 4.898 N
3.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.2722 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 15 + 2 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 20·17/(20+17) = 9.189 Ω
Req = R1 + 9.189 = 6 + 9.189 = 15.19 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 9/15.19 = 0.5925 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.5925·6 = 5.445 V
IR2 = VA/R2 = 5.445/20 = 0.2722 A
答え
IR2 = 0.2722 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 1.766 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 25 + 12 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 5.163 Ω
R3 + 5.163 = 20.16 Ω
R2 ∥ 20.16 = 3.338 Ω
Req = R1 + 3.338 = 8 + 3.338 = 11.34 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 24/11.34 = 2.117 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2.117·8 = 7.066 V
IR2 = VA/R2 = 7.066/4 = 1.766 A
答え
IR2 = 1.766 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 4.685 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサから見たテブナン等価回路
電源を短絡して Rth を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。
Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·6.8/(4.7 + 6.8) = 2.779 kΩ
vC(∞) = 12·6.8/(4.7 + 6.8) = 7.096 V
時定数
τ = Rth·C = 2.779·10 = 27.79 ms
充電曲線
vC(t) = 7.096·(1 − e−30/27.79) = 4.685 V
答え
vC = 4.685 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 7.884 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 33 µF = 108.9 ms
vC(t) = 9 + (2 − 9)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(200) = 9 + (−7)·e−200/108.9 = 7.884 V
答え
vC = 7.884 V
7.磁場と電磁誘導
答え: B = 350 µT
電流がつくる磁場：長い直線導線のまわりでは、磁力線は円になり（右手の法則）、B = μ₀I/(2πr) です。N 巻きの平らな円形コイルの中心では B = μ₀NI/(2R) です。長いソレノイドの内部では磁場は一様で、半径によらず B = μ₀nI、n = N/L は 1 メートルあたりの巻き数です。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。SI 単位（メートルとアンペア）で計算し、複数の源による磁場はベクトルとして足します。
P での各導線の磁場
B1 = 2 × 10⁻⁷·5/0.02 = 50 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·30/0.02 = 300 µT
組み合わせる
B = B₁ + B₂ = 350 µT
答え
B = 350 µT
8.磁場と電磁誘導
答え: v = 80000 m/s
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
選ばれる速さ
曲がらない：電気力 qE が磁気力 qvB とつり合います。
v = E/B1 = 2 × 10⁴/0.25 = 80000 m/s
答え
v = 80000 m/s
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.8748 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·60·0.1 = 37.7 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 24/40 = 0.6 A
IX = V/XL = 24/37.7 = 0.6366 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(0.6² + 0.6366²) = 0.8748 A
答え
I = 0.8748 A
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.03371 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·2.2·10⁻⁶) = 723.4 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−710.9)²) = 712 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 24/712 = 0.03371 A
答え
I = 0.03371 A
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