クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+10 µC の電荷と −10 µC の電荷が 50 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 37.5 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +10 µCq2 = −10 µCr1 = 37.5 cmr2 = 12.5 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+4 µC と +4 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 3 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +4 µCq2 = +4 µCd = 10 cmh = 3 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 30 ΩR3 = 6 ΩR4 = 2 ΩR5 = 2 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 10 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。
Vs = 15 VR = 47 ΩL = 220 mHt = 10 ms
vL = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 30 V に充電されている。 vC が 18 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 10 VR = 10 kΩC = 33 µFvC(0) = 30 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
20 巻きのコイルの面積は 40 cm² です。コイルが、その面に垂直な 0.2 T の一様な磁場の中で、40 ms で裏返されます（180° 回転します）。 平均誘導起電力 ε を求めてください。
N = 20A = 40 cm²B = 0.2 TΔt = 40 ms
ε = mV
8.磁場と電磁誘導むずかしい
50 巻きの短いコイルが、1000 巻き、長さ 40 cm、直径 4 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。ソレノイドの電流は 20 A/s の割合で変化します。短いコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。
N1 = 1000N2 = 50l = 40 cm⌀ = 4 cmdi/dt = 20 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ε = mV
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコンデンサが並列に、50 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩC = 10 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、100 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 100 V (rms)f = 100 HzR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 6.393 × 10⁶ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.375² = 639289 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.125² = 5.754 × 10⁶ N/C
向きと合成
1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。
E = |639289 + 5.754 × 10⁶| = 6.393 × 10⁶ N/C
答え
E = 6.393 × 10⁶ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.088 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(5² + 3²) = 5.831 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.05831² = 1.058 × 10⁷ N/C
成分
電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(h/r) = 2·1.058 × 10⁷·0.5145 = 1.088 × 10⁷ N/C
答え
E = 1.088 × 10⁷ N/C
電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.3846 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 10 + 20 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 8·30/(8+30) = 6.316 Ω
Req = R1 + 6.316 = 6 + 6.316 = 12.32 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 6/12.32 = 0.4872 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.4872·6 = 3.077 V
IR2 = VA/R2 = 3.077/8 = 0.3846 A
答え
IR2 = 0.3846 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.9004 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 2 + 8 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 1.667 Ω
R3 + 1.667 = 7.667 Ω
R2 ∥ 7.667 = 6.106 Ω
Req = R1 + 6.106 = 5 + 6.106 = 11.11 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/11.11 = 0.9004 A
答え
IR1 = 0.9004 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vL = 1.771 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A
コイルの電圧
t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。
vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−10/4.681 = 1.771 V
答え
vL = 1.771 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 302.4 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms
vC(t) = 10 + (30 − 10)·e−t/τ
時間について解く
18 = 10 + (20)·e−t/τ → e−t/τ = (18 − 10)/(30 − 10) = 0.4
t = τ·ln((30 − 10)/(18 − 10)) = 330·ln(2.5) = 302.4 ms
答え
t = 302.4 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: ε = 800 mV
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
1 巻きあたりの磁束の変化
ΔΦ = 2·0.2·0.004 = 0.0016 Wb
平均起電力
ε = NΔΦ/Δt = 20·0.0016/0.04 = 0.8 V
答え
ε = 800 mV
8.磁場と電磁誘導
答え: ε = 3.948 mV
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
相互インダクタンス
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·50·0.001257/0.4 = 197.4 µH
誘導起電力
ε = M·di/dt = 0.0001974·20 = 3.948 mV
答え
ε = 3.948 mV
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −32.14 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 50/100 = 0.5 A
IX = V/XC = 50/159.2 = 0.3142 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(0.5² + 0.3142²) = 0.5905 A
位相角
コンデンサの電流は V より進むので、全電流も進み、角度は負です。
φ = −arctan(IX/IR) = −arctan(0.3142/0.5) = −32.14°
答え
φ = −32.14°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 20.25 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 7.755 − j9.745 Ω
合成インピーダンス
Z = 10 + 7.755 − j9.745 = 17.75 − j9.745 Ω
|Z| = √(17.75² + 9.745²) = 20.25 Ω
答え
|Z| = 20.25 Ω
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