三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 7 + j24 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 480 VZ = 7 + j24 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 75 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
巻数比 N₁:N₂ = 3:1 の理想変圧器の二次巻線に 16 Ω の抵抗を接続する。一次巻線から見た抵抗 R1′ を求めよ。
N1:N2 = 3:1RL = 16 Ω
R1′ = Ω
4.変圧器むずかしい
単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 750 W、定格負荷での銅損は 2250 W である。 この変圧器が定格 kVA の 25% を遅れ力率 0.95 で供給している。この負荷での全損失 Ploss を W で求めよ。
S = 150 kVAPcore = 750 WPcu,fl = 2250 Wx = 0.25pf = 0.95
Ploss = W
5.交流電力と力率ふつう
インピーダンス Z = 9 + j12 Ω の負荷が 240 V（実効値）の単相電源に接続されている。 負荷が消費する有効電力 P を求めよ。
V = 240 VZ = 9 + j12 Ω
P = W
6.交流電力と力率むずかしい
120 V（実効値）、1000 Hz の電源の内部インピーダンスは Zs = 8 + j5 Ω である。負荷インピーダンス ZL は自由に選べる。 負荷に供給できる最大の有効電力 Pmax を求めよ。
Vs = 120 V (rms)f = 1000 HzZs = 8 + j5 Ω
Pmax = W
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF
P = W
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
VC = V
9.直流モーターふつう
直流モーターが 1800 rpm で機械的な電力 11 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。
P = 11 kWn = 1800 rpm
T = N·m
10.直流モーターむずかしい
他励直流モーター（全界磁で k = 1.2 V·s/rad、Ra = 0.4 Ω、V = 240 V）が、一定の負荷トルク 30 N·m を駆動しています。界磁磁束を全磁束の 85 % に減らします。新しい速度 n を求めなさい。
V = 240 Vk = 1.2 V·s/radRa = 0.4 ΩT = 30 N·mΦ = 85 %
n = rpm
3溶液
1.三相電力
答え: P = 7.741 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = VL = 480 V
相電流
|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
Iph = 480/25 = 19.2 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·19.2²·7 = 7.741 kW
答え
P = 7.741 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.28 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: QC = 61.29 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 75·tan(acos 0.7) = 75·1.02 = 76.52 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.98) = 75·0.2031 = 15.23 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 61.29 kvar
答え
QC = 61.29 kvar
3.変圧器
答え: R1′ = 144 Ω
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算抵抗
電圧は a 倍になり、電流は 1/a 倍になるので、比 V/I は a² 倍になります。
R1′ = a²·RL = 3²·16 = 144 Ω
答え
R1′ = 144 Ω
4.変圧器
答え: Ploss = 890.6 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
この負荷での銅損
Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·2250 = 140.6 W
全損失
鉄損は負荷によらず一定です。
Ploss = 750 + 140.6 = 890.6 W
答え
Ploss = 890.6 W
この負荷での効率は η = 97.56% です。
5.交流電力と力率
答え: P = 2304 W
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
電流
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 240/15 = 16 A
有効電力
P = I²·R = 16²·9 = 2304 W
答え
P = 2304 W
6.交流電力と力率
答え: Pmax = 450 W
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
共役整合
負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。
ZL = Zs* = 8 − j5 Ω
最大電力
I = Vs/(2Rs) = 120/16 = 7.5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 120²/(4·8) = 450 W
答え
Pmax = 450 W
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: P = 11.65 W
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 62.83 Ω, XC = 159.2 Ω
インピーダンス
|Z| = √(60² + (−96.32)²) = 113.5 Ω
有効電力
コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。
I = 50/113.5 = 0.4406 A
P = I²·R = 0.4406²·60 = 11.65 W
答え
P = 11.65 W
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 64.51 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (19.18)²) = 62.99 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 24/62.99 = 0.381 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.381·169.3 = 64.51 V
答え
VC = 64.51 V
9.直流モーター
答え: T = 58.36 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
rad/s での角速度
ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
トルク
T = P/ω = 11000/188.5 = 58.36 N·m
答え
T = 58.36 N·m
10.直流モーター
答え: n = 2137 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
弱めたあとのモーター定数
k₂ = 0.85·1.2 = 1.02 V·s/rad
新しい電機子電流
Ia = 30/1.02 = 29.41 A
新しい速度
ω = (240 − 29.41·0.4)/1.02 = 223.8 rad/s → n = 2137 rpm
答え
n = 2137 rpm
界磁弱めは、直流ドライブが基底速度より高い速度で運転する方法です。
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