三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 24 + j18 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 480 VZ = 24 + j18 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 60 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 60 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
出力抵抗 800 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 50 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 800 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。
Rs = 800 ΩRL = 50 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
単相 200 kVA の変圧器の鉄損は 1600 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.8 での効率は 98% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 200 kVAPcore = 1600 Wpf = 0.8η = 98%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
誘導性負荷が 120 V（実効値）の単相電源から 11 A と 660 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。
V = 120 VI = 11 AP = 660 W
X = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 240 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.6 で 40 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。 必要な静電容量 C を求めよ。
P = 40 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 100 mH
|Z| = Ω
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 回路の共振周波数 f0 を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF
f0 = Hz
9.直流モーターふつう
k = 0.15 N·m/A、Ra = 0.2 Ω の直流モーターを 48 V につなぎます。速度 0 でのトルク、すなわち拘束トルク Tstall を求めなさい。
V = 48 Vk = 0.15 N·m/ARa = 0.2 Ω
Tstall = N·m
10.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、120 V の直流母線からモーター（k = 0.75 V·s/rad、Ra = 1.5 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·120 V です。負荷 3 N·m で 750 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 120 Vk = 0.75 V·s/radRa = 1.5 ΩT = 3 N·mn = 750 rpm
D = %
3溶液
1.三相電力
答え: P = 18.43 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = VL = 480 V
相電流
|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 480/30 = 16 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·16²·24 = 18.43 kW
答え
P = 18.43 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: Cph = 564.5 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 60·tan(acos 0.7) = 60·1.02 = 61.21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.98) = 60·0.2031 = 12.18 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 49.03 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16343/(377·277.1²) = 564.5 µF
答え
Cph = 564.5 µF
3.変圧器
答え: a = 4
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算した負荷を整合させる
a²·50 = 800
a = √(800/50) = √16 = 4
答え
a = 4
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 1665 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 200·0.8 = 160 kW
Pin = 160000/0.98 = 163265 W
全損失と銅損
Ploss = 163265 − 160000 = 3265 W
Pcu,fl = 3265 − 1600 = 1665 W
答え
Pcu,fl = 1665 W
5.交流電力と力率
答え: X = 9.448 Ω
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
有効電力からの抵抗
R = P/I² = 660/11² = 5.455 Ω
インピーダンスからのリアクタンス
|Z| = V/I = 120/11 = 10.91 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(10.91² − 5.455²) = 9.448 Ω
答え
X = 9.448 Ω
6.交流電力と力率
答え: C = 2006 µF
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(53.13°) = 53.33 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(23.07°) = 17.04 kvar
QC = Q1 − Q2 = 36.29 kvar
静電容量
電源に並列につないだコンデンサは Q = V²·ωC を供給します。
C = QC/(2πf·V²) = 36293/(2π·50·240²) = 2006 µF
答え
C = 2006 µF
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 13.94 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·60·0.1 = 37.7 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 24/15 = 1.6 A
IX = V/XL = 24/37.7 = 0.6366 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(1.6² + 0.6366²) = 1.722 A
インピーダンス
|Z| = V/I = 24/1.722 = 13.94 Ω
答え
|Z| = 13.94 Ω
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: f0 = 159.2 Hz
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。電源周波数は関係ありません。
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·10·10⁻⁶)) = 159.2 Hz
答え
f0 = 159.2 Hz
9.直流モーター
答え: Tstall = 36 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
拘束電流
Ia = V/Ra = 48/0.2 = 240 A
拘束トルク
Tstall = 0.15·240 = 36 N·m
答え
Tstall = 36 N·m
10.直流モーター
答え: D = 54.09 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 0.75·78.54 + 4·1.5 = 64.9 V
デューティ比
D = 64.9/120 = 54.09 %
答え
D = 54.09 %
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