電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

変圧器

巻数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
電流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
定格電流: I = S/V
換算インピーダンス: Z₁′ = a²·Z_L
部分負荷時の銅損: P_cu = x²·P_cu,fl
効率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最大効率: x = √(P_core/P_cu,fl)

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 9 + j12 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 400 VZ = 9 + j12 Ω 1 相あたり

P = kW

2.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 250 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 250 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.98V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.変圧器ふつう

巻数比 N₁:N₂ = 2:1 の理想変圧器の一次巻線に 460 V を加える。二次巻線に 10 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I₁ を求めよ。

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 460 VR_L = 10 Ω

I₁ = A

4.変圧器むずかしい

単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 600 W、定格負荷での銅損は 1200 W である。効率が最大になる負荷 S_η,max を kVA で求めよ。

S = 150 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 1200 W

S_η,max = kVA

5.交流電力と力率ふつう

誘導性負荷が 240 V（実効値）の単相電源から 6.5 A と 1170 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。

V = 240 VI = 6.5 AP = 1170 W

X = Ω

6.交流電力と力率むずかしい

100 V（実効値）、1000 Hz の電源の内部インピーダンスは Z_s = 8 + j3 Ω である。負荷インピーダンス Z_L は自由に選べる。負荷に供給できる最大の有効電力 P_max を求めよ。

V_s = 100 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 8 + j3 Ω

P_max = W

7.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコンデンサが並列に、24 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩC = 47 µF

φ = °

8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_C = V

9.直流モーターふつう

直流モーターが 750 rpm で機械的な電力 1 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。

P = 1 kWn = 750 rpm

T = N·m

10.直流モーターむずかしい

k = 2 V·s/rad、R_a = 0.25 Ω の直流モーターが、400 rpm で 60 N·m の負荷を駆動しなければなりません。必要な電機子電圧 V を求めなさい。

k = 2 V·s/radR_a = 0.25 ΩT = 60 N·mn = 400 rpm

V = V

3溶液

1.三相電力

答え: P = 6.4 kW

相電圧

V_ph = 400/√3 = 230.9 V

相電流

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I_ph = 230.9/15 = 15.4 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·15.4²·9 = 6.4 kW

答え

P = 6.4 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

2.三相電力

答え: C_ph = 1488 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 250·tan(acos 0.65) = 250·1.169 = 292.3 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.98) = 250·0.2031 = 50.76 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 241.5 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 80506/(314.2·415²) = 1488 µF

答え

C_ph = 1488 µF

3.変圧器

答え: I₁ = 11.5 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

二次電圧と二次電流

V₂ = 460/2 = 230 V

I₂ = 230/10 = 23 A

一次電流

理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I₁ = I₂/2 = 11.5 A

答え

I₁ = 11.5 A

確認：一次側から見た負荷は a²·R_L = 40 Ω で、460/40 からも同じ電流が得られます。

4.変圧器

答え: S_η,max = 106.1 kVA

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·P_cu,fl になります。効率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)、ただし P_out = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

銅損 = 鉄損

x²·1200 = 600 → x = √(600/1200) = 0.7071

最大効率となる負荷

S_η,max = x·S = 0.7071·150 = 106.1 kVA

答え

S_η,max = 106.1 kVA

5.交流電力と力率

答え: X = 24.42 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 1170/6.5² = 27.69 Ω

インピーダンスからのリアクタンス

|Z| = V/I = 240/6.5 = 36.92 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(36.92² − 27.69²) = 24.42 Ω

答え

X = 24.42 Ω

6.交流電力と力率

答え: P_max = 312.5 W

共役整合

負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。

Z_L = Z_s* = 8 − j3 Ω

最大電力

I = V_s/(2R_s) = 100/16 = 6.25 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 100²/(4·8) = 312.5 W

答え

P_max = 312.5 W

7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −41.54 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 24/30 = 0.8 A

I_X = V/X_C = 24/33.86 = 0.7087 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.8² + 0.7087²) = 1.069 A

位相角

コンデンサの電流は V より進むので、全電流も進み、角度は負です。

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0.7087/0.8) = −41.54°

答え

φ = −41.54°

8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 5.949 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (612.4)²) = 615.3 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 230/615.3 = 0.3738 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.3738·15.92 = 5.949 V

答え

V_C = 5.949 V

9.直流モーター

答え: T = 12.73 N·m

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

rad/s での角速度

ω = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

トルク

T = P/ω = 1000/78.54 = 12.73 N·m

答え

T = 12.73 N·m

10.直流モーター

答え: V = 91.28 V

逆起電力

E = 2·41.89 = 83.78 V

電機子電流

I_a = 60/2 = 30 A

電機子電圧

V = 83.78 + 30·0.25 = 91.28 V

答え

V = 91.28 V

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