三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 12 + j9 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 208 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 208 VZ = 12 + j9 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 300 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
出力抵抗 32 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 8 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 32 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。
Rs = 32 ΩRL = 8 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
単相 25 kVA の変圧器の鉄損は 200 W、定格負荷での銅損は 400 W である。 この変圧器が定格 kVA の 50% を遅れ力率 0.9 で供給している。この負荷での全損失 Ploss を W で求めよ。
S = 25 kVAPcore = 200 WPcu,fl = 400 Wx = 0.5pf = 0.9
Ploss = W
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.9 で 34 kW を消費する。 線電流 I を求めよ。
P = 34 kWpf = 0.9V = 400 V
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 230 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.6 で 10 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.98 に改善する。 新しい線電流 Inew を求めよ。
P = 10 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.98V = 230 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、50 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 60 HzR1 = 40 ΩR2 = 50 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
9.直流モーターふつう
直流モーターが 750 rpm で機械的な電力 1 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。
P = 1 kWn = 750 rpm
T = N·m
10.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、240 V の直流母線からモーター（k = 1.5 V·s/rad、Ra = 1.2 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·240 V です。負荷 30 N·m で 1000 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 240 Vk = 1.5 V·s/radRa = 1.2 ΩT = 30 N·mn = 1000 rpm
D = %
3溶液
1.三相電力
答え: P = 6.922 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = VL = 208 V
相電流
|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 208/15 = 13.87 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·13.87²·12 = 6.922 kW
答え
P = 6.922 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: QC = 245.1 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 300·tan(acos 0.7) = 300·1.02 = 306.1 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 245.1 kvar
答え
QC = 245.1 kvar
3.変圧器
答え: a = 2
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算した負荷を整合させる
a²·8 = 32
a = √(32/8) = √4 = 2
答え
a = 2
4.変圧器
答え: Ploss = 300 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
この負荷での銅損
Pcu = x²·Pcu,fl = 0.25·400 = 100 W
全損失
鉄損は負荷によらず一定です。
Ploss = 200 + 100 = 300 W
答え
Ploss = 300 W
この負荷での効率は η = 97.4% です。
5.交流電力と力率
答え: I = 94.44 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
線電流
仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。
I = P/(V·cos φ) = 34000/(400·0.9) = 94.44 A
答え
I = 94.44 A
6.交流電力と力率
答え: Inew = 44.37 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(53.13°) = 13.33 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11.48°) = 2.031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 11.3 kvar
新しい線電流
Inew = P/(V·cos φ2) = 10000/(230·0.98) = 44.37 A
答え
Inew = 44.37 A
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 1.443 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1.592 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (124.1)²) = 159.4 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 230/159.4 = 1.443 A
答え
I = 1.443 A
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 72.4 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 28.01 − j24.82 Ω
合成インピーダンス
Z = 40 + 28.01 − j24.82 = 68.01 − j24.82 Ω
|Z| = √(68.01² + 24.82²) = 72.4 Ω
答え
|Z| = 72.4 Ω
9.直流モーター
答え: T = 12.73 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
rad/s での角速度
ω = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
トルク
T = P/ω = 1000/78.54 = 12.73 N·m
答え
T = 12.73 N·m
10.直流モーター
答え: D = 75.45 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 1.5·104.7 + 20·1.2 = 181.1 V
デューティ比
D = 181.1/240 = 75.45 %
答え
D = 75.45 %
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