電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 結線
VL = Vph, IL = √3·Iph
全有効電力
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
皮相電力と無効電力
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧
Δ：VL Y：VL/√3
モーターの入力
Pin = Pout/η

変圧器

巻数比
a = N1/N2 = V1/V2
電流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
定格電流
I = S/V
換算インピーダンス
Z1′ = a²·ZL
部分負荷時の銅損
Pcu = x²·Pcu,fl
効率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最大効率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

交流電力と力率

有効電力
P = V·I·cos φ
無効電力
Q = V·I·sin φ
皮相電力
S = V·I = √(P² + Q²)
力率
pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路
V = E + IaRa
逆起電力とトルク
E = k·ω, T = k·Ia
速さ
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
無負荷速度と拘束トルク
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
電力
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
始動
Istart = V/(Ra + Rst)
速度変動率
SR = (n0 − nFL)/nFL
最大発生電力
Pmax = V²/(4Ra)
チョッパ駆動
Va = D·Vdc

解き方

  1. 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
  2. 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
  3. 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
  4. 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M90 kW, η = 88%cos φ = 0.9

三相誘導電動機が全負荷で 90 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 88%、力率は遅れ 0.9 である。電源の線間電圧は 400 V である。線電流 IL を求めよ。

Pout = 90 kWη = 88%cos φ = 0.9VL = 400 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.72 で 60 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。

P = 60 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
RL​ = 15 Ω2014600 VV2​I1​ = ?I2​

巻数比 N₁:N₂ = 20:1 の理想変圧器の一次巻線に 4600 V を加える。二次巻線に 15 Ω の抵抗を接続する。一次電流 I1 を求めよ。

N1:N2 = 20:1V1 = 4600 VRL = 15 Ω
I1 = A
4.変圧器むずかしい
pf 0.85150 kVA, 50% 負荷

単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 450 W、定格負荷での銅損は 1800 W である。 この変圧器が定格 kVA の 50% を遅れ力率 0.85 で供給している。この負荷での全損失 Ploss を W で求めよ。

S = 150 kVAPcore = 450 WPcu,fl = 1800 Wx = 0.5pf = 0.85
Ploss = W
5.交流電力と力率ふつう
120 VR + jXP = 306 W3 A

誘導性負荷が 120 V（実効値）の単相電源から 3 A と 306 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。

V = 120 VI = 3 AP = 306 W
R = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
10 V1000 HzRs​ = 2 ΩXs​ = j30 ΩZL​ = ?

10 V（実効値）、1000 Hz の電源の内部インピーダンスは Zs = 2 + j30 Ω である。負荷インピーダンス ZL は自由に選べる。 最大電力を得る負荷を、抵抗とコンデンサの直列回路でつくる。静電容量 C を求めよ。

Vs = 10 V (rms)f = 1000 HzZs = 2 + j30 Ω
C = µF
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
120 V100 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4.7 µFI

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF
cos φ =
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
120 V500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。 回路の共振周波数 f0 を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF
f0 = Hz
9.直流モーターふつう
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

k = 1 V·s/rad の直流モーターが 220 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n0 を rpm で求めなさい。

V = 220 Vk = 1 V·s/rad
n0 = rpm
10.直流モーターむずかしい
+−48 VRa​ = 2 ΩM+−EωT

小型の直流モーターの電機子抵抗は 2 Ω で、48 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 Pmax を求めなさい。

V = 48 VRa = 2 Ω
Pmax = W

3溶液

1.三相電力

答え: IL = 164 A

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

電気入力

Pin = Pout/η = 90/0.88 = 102.3 kW

線電流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 102273/(√3·400·0.9) = 164 A

答え

IL = 164 A
2.三相電力

答え: Cph = 178.3 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.72) = 60·0.9639 = 57.83 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.92) = 60·0.426 = 25.56 kvar

コンデンサが供給する無効電力

QC = Q1 − Q2 = 32.27 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10757/(377·400²) = 178.3 µF

答え

Cph = 178.3 µF
3.変圧器

答え: I1 = 0.7667 A

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

二次電圧と二次電流

V2 = 4600/20 = 230 V
I2 = 230/15 = 15.33 A

一次電流

理想変圧器には損失がありません：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I1 = I2/20 = 0.7667 A

答え

I1 = 0.7667 A

確認：一次側から見た負荷は a²·RL = 6000 Ω で、4600/6000 からも同じ電流が得られます。

4.変圧器

答え: Ploss = 900 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

この負荷での銅損

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.25·1800 = 450 W

全損失

鉄損は負荷によらず一定です。

Ploss = 450 + 450 = 900 W

答え

Ploss = 900 W

この負荷での効率は η = 98.61% です。

5.交流電力と力率

答え: R = 34 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 306/3² = 34 Ω

答え

R = 34 Ω
6.交流電力と力率

答え: C = 5.305 µF

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

共役整合

負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。

ZL = Zs* = 2 − j30 Ω

静電容量

XC = 30 Ω → C = 1/(2π·1000·30) = 5.305 µF

答え

C = 5.305 µF
7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: cos φ = 0.3138

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XL = 157.1 Ω, XC = 338.6 Ω

インピーダンス

|Z| = √(60² + (−181.5)²) = 191.2 Ω

力率

cos φ = R/|Z| = 60/191.2 = 0.3138
回路は容量性なので、力率は進みです。

答え

cos φ = 0.3138
8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: f0 = 159.2 Hz

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振

共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。電源周波数は関係ありません。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·10·10⁻⁶)) = 159.2 Hz

答え

f0 = 159.2 Hz
9.直流モーター

答え: n0 = 2101 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。

無負荷速度

ω₀ = V/k = 220/1 = 220 rad/s
n0 = 60·220/(2π) = 2101 rpm

答え

n0 = 2101 rpm
10.直流モーター

答え: Pmax = 288 W

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。

逆起電力の関数としての電力

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

最大電力

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·2) = 288 W

答え

Pmax = 288 W

この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。

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