三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 22 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 92%、力率は遅れ 0.86 である。電源の線間電圧は 415 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 22 kWη = 92%cos φ = 0.86VL = 415 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 100 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
単相 100 kVA、2400/240 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。高圧巻線の電流 IHV を求めよ。
S = 100 kVAV1 = 2400 VV2 = 240 V
IHV = A
4.変圧器むずかしい
単相 75 kVA の変圧器の鉄損は 300 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.85 での効率は 98.5% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 75 kVAPcore = 300 Wpf = 0.85η = 98.5%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
2 つの負荷が 240 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.65 の 17 kW の負荷と、遅れ力率 0.7 の 17 kW の負荷。 電源から見た全体の力率 cos φ を求めよ。
V = 240 VP1 = 17 kW, pf1 = 0.65 遅れP2 = 17 kW, pf2 = 0.7 遅れ
cos φ =
6.交流電力と力率むずかしい
100 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.85 で 68 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。
Smax = 100 kVAP1 = 68 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
L = 2 mH の直列 RLC 回路を 100 Hz で共振させなければならない。必要な静電容量 C を求めよ。
f0 = 100 HzL = 2 mH
C = µF
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、12 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 100 HzR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
9.直流モーターふつう
直流モーターが 220 V の電源から 20 A を引き込みます。電機子抵抗は 1.2 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 157 W です。効率 η を求めなさい。
V = 220 VIa = 20 ARa = 1.2 ΩProt = 157 W
η = %
10.直流モーターむずかしい
48 V（Ra = 0.4 Ω）の他励直流モーターが、電機子電流 5 A で 1800 rpm で回転しています。負荷が変わり、界磁は変えないまま電流が 3 A になります。新しい速度 n2 を求めなさい。
V = 48 VRa = 0.4 Ωn1 = 1800 rpmIa1 = 5 AIa2 = 3 A
n2 = rpm
3溶液
1.三相電力
答え: IL = 38.68 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 22/0.92 = 23.91 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23913/(√3·415·0.86) = 38.68 A
答え
IL = 38.68 A
2.三相電力
答え: Cph = 595.2 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 100·tan(acos 0.65) = 100·1.169 = 116.9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.98) = 100·0.2031 = 20.31 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 96.61 kvar
1 相あたりの静電容量
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 32202/(314.2·415²) = 595.2 µF
答え
Cph = 595.2 µF
3.変圧器
答え: IHV = 41.67 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
IHV = S/V = 100000/2400 = 41.67 A
答え
IHV = 41.67 A
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 670.8 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 75·0.85 = 63.75 kW
Pin = 63750/0.985 = 64721 W
全損失と銅損
Ploss = 64721 − 63750 = 970.8 W
Pcu,fl = 970.8 − 300 = 670.8 W
答え
Pcu,fl = 670.8 W
5.交流電力と力率
答え: cos φ = 0.6745
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
各負荷の無効電力
遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。
Q1 = 17·tan(arccos 0.65) = 19.88 kvar
Q2 = 17·tan(arccos 0.7) = 17.34 kvar
合計
P = 17 + 17 = 34 kW
Q = 19.88 + 17.34 = 37.22 kvar
S = √(34² + 37.22²) = 50.41 kVA
全体の力率
cos φ = P/S = 34/50.41 = 0.6745 遅れ
答え
cos φ = 0.6745
6.交流電力と力率
答え: ΔP = 22.69 kW
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
既存の負荷の無効電力
Q1 = 68·tan(arccos 0.85) = 42.14 kvar
最大の全有効電力
定格いっぱいでは S = Smax で、Q は抵抗負荷によって変わりません。
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 42.14²) = 90.69 kW
追加できる有効電力
ΔP = 90.69 − 68 = 22.69 kW
答え
ΔP = 22.69 kW
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: C = 1267 µF
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振条件
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628.3²·0.002) = 1267 µF
答え
C = 1267 µF
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 20.25 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 7.755 − j9.745 Ω
合成インピーダンス
Z = 10 + 7.755 − j9.745 = 17.75 − j9.745 Ω
|Z| = √(17.75² + 9.745²) = 20.25 Ω
答え
|Z| = 20.25 Ω
9.直流モーター
答え: η = 85.52 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電力
Pin = 220·20 = 4400 W
Pdev = 196·20 = 3920 W
Pout = 3920 − 157 = 3763 W
効率
η = 3763/4400·100 = 85.52 %
答え
η = 85.52 %
10.直流モーター
答え: n2 = 1831 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
変化前と変化後の逆起電力
E1 = 48 − 5·0.4 = 46 V
E2 = 48 − 3·0.4 = 46.8 V
新しい速度
n2 = 1800·46.8/46 = 1831 rpm
答え
n2 = 1831 rpm
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