三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 4 + j3 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 400 VZ = 4 + j3 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 80 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 80 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
巻数比 N₁:N₂ = 2:1 の理想変圧器の二次巻線に 16 Ω の抵抗を接続する。一次巻線から見た抵抗 R1′ を求めよ。
N1:N2 = 2:1RL = 16 Ω
R1′ = Ω
4.変圧器むずかしい
単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 750 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.95 での効率は 97% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 150 kVAPcore = 750 Wpf = 0.95η = 97%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.85 で 24 kW を消費する。 線電流 I を求めよ。
P = 24 kWpf = 0.85V = 400 V
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
24 V（実効値）、60 Hz の電源の内部インピーダンスは Zs = 20 + j30 Ω である。負荷インピーダンス ZL は自由に選べる。 最大電力を得る負荷を、抵抗とコンデンサの直列回路でつくる。静電容量 C を求めよ。
Vs = 24 V (rms)f = 60 HzZs = 20 + j30 Ω
C = µF
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、120 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 200 mH
|Z| = Ω
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、12 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 60 HzR1 = 15 ΩR2 = 150 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
9.直流モーターふつう
k = 0.75 V·s/rad の直流モーターが 48 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n0 を rpm で求めなさい。
V = 48 Vk = 0.75 V·s/rad
n0 = rpm
10.直流モーターむずかしい
120 V（Ra = 0.8 Ω）の他励直流モーターが、電機子電流 15 A で 1500 rpm で回転しています。負荷が変わり、界磁は変えないまま電流が 7.5 A になります。新しい速度 n2 を求めなさい。
V = 120 VRa = 0.8 Ωn1 = 1500 rpmIa1 = 15 AIa2 = 7.5 A
n2 = rpm
3溶液
1.三相電力
答え: P = 76.8 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = VL = 400 V
相電流
|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω
Iph = 400/5 = 80 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·80²·4 = 76.8 kW
答え
P = 76.8 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: Cph = 681.7 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 80·tan(acos 0.75) = 80·0.8819 = 70.55 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.95) = 80·0.3287 = 26.29 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 44.26 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 14753/(377·239.6²) = 681.7 µF
答え
Cph = 681.7 µF
3.変圧器
答え: R1′ = 64 Ω
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算抵抗
電圧は a 倍になり、電流は 1/a 倍になるので、比 V/I は a² 倍になります。
R1′ = a²·RL = 2²·16 = 64 Ω
答え
R1′ = 64 Ω
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 3657 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 150·0.95 = 142.5 kW
Pin = 142500/0.97 = 146907 W
全損失と銅損
Ploss = 146907 − 142500 = 4407 W
Pcu,fl = 4407 − 750 = 3657 W
答え
Pcu,fl = 3657 W
5.交流電力と力率
答え: I = 70.59 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
線電流
仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。
I = P/(V·cos φ) = 24000/(400·0.85) = 70.59 A
答え
I = 70.59 A
6.交流電力と力率
答え: C = 88.42 µF
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
共役整合
負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。
ZL = Zs* = 20 − j30 Ω
静電容量
XC = 30 Ω → C = 1/(2π·60·30) = 88.42 µF
答え
C = 88.42 µF
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 43.39 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·50·0.2 = 62.83 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 120/60 = 2 A
IX = V/XL = 120/62.83 = 1.91 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(2² + 1.91²) = 2.765 A
インピーダンス
|Z| = V/I = 120/2.765 = 43.39 Ω
答え
|Z| = 43.39 Ω
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 143.8 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·60·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 113.7 − j64.27 Ω
合成インピーダンス
Z = 15 + 113.7 − j64.27 = 128.7 − j64.27 Ω
|Z| = √(128.7² + 64.27²) = 143.8 Ω
答え
|Z| = 143.8 Ω
9.直流モーター
答え: n0 = 611.2 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
無負荷速度
ω₀ = V/k = 48/0.75 = 64 rad/s
n0 = 60·64/(2π) = 611.2 rpm
答え
n0 = 611.2 rpm
10.直流モーター
答え: n2 = 1583 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
変化前と変化後の逆起電力
E1 = 120 − 15·0.8 = 108 V
E2 = 120 − 7.5·0.8 = 114 V
新しい速度
n2 = 1500·114/108 = 1583 rpm
答え
n2 = 1583 rpm
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