三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
平衡三相負荷が、線間電圧 690 V の電源から線電流 12 A を流している。力率は遅れ 0.82 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 690 VIL = 12 Acos φ = 0.82
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、415 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 80 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 80 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
単相 15 kVA、4160/480 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 ILV を求めよ。
S = 15 kVAV1 = 4160 VV2 = 480 V
ILV = A
4.変圧器むずかしい
単相 500 kVA の変圧器の鉄損は 3000 W、定格負荷での銅損は 9000 W である。 効率が最大になる負荷 Sη,max を kVA で求めよ。
S = 500 kVAPcore = 3000 WPcu,fl = 9000 W
Sη,max = kVA
5.交流電力と力率ふつう
誘導性負荷が 240 V（実効値）の単相電源から 9 A と 1944 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。
V = 240 VI = 9 AP = 1944 W
X = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 240 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 35 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.98 に改善する。 新しい線電流 Inew を求めよ。
P = 35 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
C = 47 µF の直列 RLC 回路を 200 Hz で共振させなければならない。必要なインダクタンス L を求めよ。
f0 = 200 HzC = 47 µF
L = mH
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 47 µF
I = A
9.直流モーターふつう
直流モーターが 1000 rpm で機械的な電力 5.5 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。
P = 5.5 kWn = 1000 rpm
T = N·m
10.直流モーターむずかしい
220 V（Ra = 1 Ω）の他励直流モーターが、電機子電流 25 A で 1440 rpm で回転しています。負荷が変わり、界磁は変えないまま電流が 10 A になります。新しい速度 n2 を求めなさい。
V = 220 VRa = 1 Ωn1 = 1440 rpmIa1 = 25 AIa2 = 10 A
n2 = rpm
3溶液
1.三相電力
答え: P = 11.76 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
皮相電力
S = √3·VL·IL = √3·690·12 = 14.34 kVA
有効電力
P = S·cos φ = 14.34·0.82 = 11.76 kW
答え
P = 11.76 kW
2.三相電力
答え: QC = 21.25 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 80·tan(acos 0.8) = 80·0.75 = 60 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.9) = 80·0.4843 = 38.75 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 21.25 kvar
答え
QC = 21.25 kvar
3.変圧器
答え: ILV = 31.25 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
ILV = S/V = 15000/480 = 31.25 A
答え
ILV = 31.25 A
4.変圧器
答え: Sη,max = 288.7 kVA
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
銅損 = 鉄損
x²·9000 = 3000 → x = √(3000/9000) = 0.5774
最大効率となる負荷
Sη,max = x·S = 0.5774·500 = 288.7 kVA
答え
Sη,max = 288.7 kVA
5.交流電力と力率
答え: X = 11.62 Ω
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
有効電力からの抵抗
R = P/I² = 1944/9² = 24 Ω
インピーダンスからのリアクタンス
|Z| = V/I = 240/9 = 26.67 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(26.67² − 24²) = 11.62 Ω
答え
X = 11.62 Ω
6.交流電力と力率
答え: Inew = 148.8 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(36.87°) = 26.25 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(11.48°) = 7.107 kvar
QC = Q1 − Q2 = 19.14 kvar
新しい線電流
Inew = P/(V·cos φ2) = 35000/(240·0.98) = 148.8 A
答え
Inew = 148.8 A
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: L = 13.47 mH
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振条件
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。
ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·47·10⁻⁶) = 13.47 mH
答え
L = 13.47 mH
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.1094 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (91.8)²) = 109.7 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 12/109.7 = 0.1094 A
答え
I = 0.1094 A
9.直流モーター
答え: T = 52.52 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
rad/s での角速度
ω = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
トルク
T = P/ω = 5500/104.7 = 52.52 N·m
答え
T = 52.52 N·m
10.直流モーター
答え: n2 = 1551 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
変化前と変化後の逆起電力
E1 = 220 − 25·1 = 195 V
E2 = 220 − 10·1 = 210 V
新しい速度
n2 = 1440·210/195 = 1551 rpm
答え
n2 = 1551 rpm
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