三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
平衡三相負荷が、線間電圧 400 V の電源から線電流 80 A を流している。力率は遅れ 0.85 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 400 VIL = 80 Acos φ = 0.85
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 120 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
巻数比 N₁:N₂ = 4:1 の理想変圧器の二次巻線に 4 Ω の抵抗を接続する。一次巻線から見た抵抗 R1′ を求めよ。
N1:N2 = 4:1RL = 4 Ω
R1′ = Ω
4.変圧器むずかしい
単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 450 W である。 定格負荷、遅れ力率 0.95 での効率は 98% である。全負荷銅損 Pcu,fl を W で求めよ。
S = 150 kVAPcore = 450 Wpf = 0.95η = 98%
Pcu,fl = W
5.交流電力と力率ふつう
2 つの負荷が 400 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.85 の 8 kW の負荷と、遅れ力率 0.9 の 22 kW の負荷。 電源から流れる全電流 I を求めよ。
V = 400 VP1 = 8 kW, pf1 = 0.85 遅れP2 = 22 kW, pf2 = 0.9 遅れ
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 400 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 50 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。 新しい線電流 Inew を求めよ。
P = 50 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92V = 400 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 10 µF
P = W
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 回路の共振周波数 f0 を求めよ。
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 22 µF
f0 = Hz
9.直流モーターふつう
k = 0.2 N·m/A、Ra = 0.2 Ω の直流モーターを 24 V につなぎます。速度 0 でのトルク、すなわち拘束トルク Tstall を求めなさい。
V = 24 Vk = 0.2 N·m/ARa = 0.2 Ω
Tstall = N·m
10.直流モーターむずかしい
小型の直流モーターの電機子抵抗は 2 Ω で、110 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 Pmax を求めなさい。
V = 110 VRa = 2 Ω
Pmax = W
3溶液
1.三相電力
答え: P = 47.11 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
皮相電力
S = √3·VL·IL = √3·400·80 = 55.43 kVA
有効電力
P = S·cos φ = 55.43·0.85 = 47.11 kW
答え
P = 47.11 kW
2.三相電力
答え: Cph = 838.2 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 120·tan(acos 0.8) = 120·0.75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 50.56 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16853/(377·230.9²) = 838.2 µF
答え
Cph = 838.2 µF
3.変圧器
答え: R1′ = 64 Ω
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算抵抗
電圧は a 倍になり、電流は 1/a 倍になるので、比 V/I は a² 倍になります。
R1′ = a²·RL = 4²·4 = 64 Ω
答え
R1′ = 64 Ω
4.変圧器
答え: Pcu,fl = 2458 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
出力と入力
Pout = 150·0.95 = 142.5 kW
Pin = 142500/0.98 = 145408 W
全損失と銅損
Ploss = 145408 − 142500 = 2908 W
Pcu,fl = 2908 − 450 = 2458 W
答え
Pcu,fl = 2458 W
5.交流電力と力率
答え: I = 84.55 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
各負荷の無効電力
遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。
Q1 = 8·tan(arccos 0.85) = 4.958 kvar
Q2 = 22·tan(arccos 0.9) = 10.66 kvar
合計
P = 8 + 22 = 30 kW
Q = 4.958 + 10.66 = 15.61 kvar
S = √(30² + 15.61²) = 33.82 kVA
全電流
I = S/V = 33820/400 = 84.55 A
答え
I = 84.55 A
6.交流電力と力率
答え: Inew = 135.9 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(36.87°) = 37.5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(23.07°) = 21.3 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16.2 kvar
新しい線電流
Inew = P/(V·cos φ2) = 50000/(400·0.92) = 135.9 A
答え
Inew = 135.9 A
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: P = 114.1 W
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 125.7 Ω, XC = 79.58 Ω
インピーダンス
|Z| = √(20² + (46.09)²) = 50.24 Ω
有効電力
コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。
I = 120/50.24 = 2.389 A
P = I²·R = 2.389²·20 = 114.1 W
答え
P = 114.1 W
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: f0 = 75.87 Hz
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振
共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。電源周波数は関係ありません。
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.2·22·10⁻⁶)) = 75.87 Hz
答え
f0 = 75.87 Hz
9.直流モーター
答え: Tstall = 24 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
拘束電流
Ia = V/Ra = 24/0.2 = 120 A
拘束トルク
Tstall = 0.2·120 = 24 N·m
答え
Tstall = 24 N·m
10.直流モーター
答え: Pmax = 1513 W
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
逆起電力の関数としての電力
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V
最大電力
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 110²/(4·2) = 1513 W
答え
Pmax = 1513 W
この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。
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