電力システムと電気機器：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

三相電力

Y 結線
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 結線
VL = Vph, IL = √3·Iph
全有効電力
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
皮相電力と無効電力
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧
Δ：VL Y：VL/√3
モーターの入力
Pin = Pout/η

変圧器

巻数比
a = N1/N2 = V1/V2
電流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
定格電流
I = S/V
換算インピーダンス
Z1′ = a²·ZL
部分負荷時の銅損
Pcu = x²·Pcu,fl
効率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最大効率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

交流電力と力率

有効電力
P = V·I·cos φ
無効電力
Q = V·I·sin φ
皮相電力
S = V·I = √(P² + Q²)
力率
pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

直流モーター

電機子回路
V = E + IaRa
逆起電力とトルク
E = k·ω, T = k·Ia
速さ
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
無負荷速度と拘束トルク
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
電力
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
始動
Istart = V/(Ra + Rst)
速度変動率
SR = (n0 − nFL)/nFL
最大発生電力
Pmax = V²/(4Ra)
チョッパ駆動
Va = D·Vdc

解き方

  1. 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
  2. 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
  3. 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
  4. 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。

2演習問題

1.三相電力ふつう
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M18.5 kW, η = 94%cos φ = 0.84

三相誘導電動機が全負荷で 18.5 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 94%、力率は遅れ 0.84 である。電源の線間電圧は 415 V である。線電流 IL を求めよ。

Pout = 18.5 kWη = 94%cos φ = 0.84VL = 415 V
IL = A
2.三相電力むずかしい
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

平衡三相負荷が、690 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.72 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。

P = 120 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.変圧器ふつう
16 ΩN1​N2​576 Ω

出力抵抗 576 Ω の増幅器が、理想変圧器を介して 16 Ω のスピーカーを駆動する。最大電力を伝えるには、増幅器から見てスピーカーが 576 Ω に見えなければならない。巻数比 a = N₁/N₂ を求めよ。

Rs = 576 ΩRL = 16 Ω
a =
4.変圧器むずかしい
pf 0.95200 kVA, 50% 負荷

単相 200 kVA の変圧器の鉄損は 600 W、定格負荷での銅損は 900 W である。 この変圧器が定格 kVA の 50% を遅れ力率 0.95 で供給している。この負荷での全損失 Ploss を W で求めよ。

S = 200 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 900 Wx = 0.5pf = 0.95
Ploss = W
5.交流電力と力率ふつう
400 V13 kW, 0.75219 kW, 0.95I = ?

2 つの負荷が 400 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.75 の 3 kW の負荷と、進み力率 0.95 の 19 kW の負荷。 電源から流れる全電流 I を求めよ。

V = 400 VP1 = 3 kW, pf1 = 0.75 遅れP2 = 19 kW, pf2 = 0.95 進み
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
P1​ = 46 kWQ1​S1​φ

75 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.85 で 46 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

Smax = 75 kVAP1 = 46 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
100 V100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 2.2 µFI

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF
I = A
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
5 Vf0​R = 50 ΩL = 200 mHC = 0.1 µF

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 5 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。

V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 0.1 µF
VL = V
9.直流モーターふつう
+−VRa​M+−En = 1500 rpmT = ?

直流モーターが 1500 rpm で機械的な電力 7.5 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。

P = 7.5 kWn = 1500 rpm
T = N·m
10.直流モーターむずかしい
+−120 VD = ?Ra​ = 1.2 ΩM+−En = 300 rpmT = 0.8 N·m

直流チョッパが、120 V の直流母線からモーター（k = 0.2 V·s/rad、Ra = 1.2 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·120 V です。負荷 0.8 N·m で 300 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。

Vdc = 120 Vk = 0.2 V·s/radRa = 1.2 ΩT = 0.8 N·mn = 300 rpm
D = %

3溶液

1.三相電力

答え: IL = 32.6 A

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

電気入力

Pin = Pout/η = 18.5/0.94 = 19.68 kW

線電流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 19681/(√3·415·0.84) = 32.6 A

答え

IL = 32.6 A
2.三相電力

答え: QC = 91.3 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q1 = 120·tan(acos 0.72) = 120·0.9639 = 115.7 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

コンデンサが供給する無効電力

QC = Q1 − Q2 = 91.3 kvar

答え

QC = 91.3 kvar
3.変圧器

答え: a = 6

理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。

換算した負荷を整合させる

a²·16 = 576
a = √(576/16) = √36 = 6

答え

a = 6
4.変圧器

答え: Ploss = 825 W

変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。

この負荷での銅損

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.25·900 = 225 W

全損失

鉄損は負荷によらず一定です。

Ploss = 600 + 225 = 825 W

答え

Ploss = 825 W

この負荷での効率は η = 99.14% です。

5.交流電力と力率

答え: I = 55.73 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

各負荷の無効電力

遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。

Q1 = 3·tan(arccos 0.75) = 2.646 kvar
Q2 = −19·tan(arccos 0.95) = −6.245 kvar

合計

P = 3 + 19 = 22 kW
Q = 2.646 + (−6.245) = −3.599 kvar
S = √(22² + (−3.599)²) = 22.29 kVA

全電流

I = S/V = 22292/400 = 55.73 A

答え

I = 55.73 A
6.交流電力と力率

答え: ΔP = 23.37 kW

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

既存の負荷の無効電力

Q1 = 46·tan(arccos 0.85) = 28.51 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = Smax で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 28.51²) = 69.37 kW

追加できる有効電力

ΔP = 69.37 − 46 = 23.37 kW

答え

ΔP = 23.37 kW
7.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.1586 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.15 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·2.2·10⁻⁶) = 723.4 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−629.2)²) = 630.5 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 100/630.5 = 0.1586 A

答え

I = 0.1586 A
8.交流インピーダンスとフェーザ

答え: VL = 141.4 V

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·0.1·10⁻⁶) = 7071 rad/s
I = V/R = 5/50 = 0.1 A

コイルの両端の電圧

XL = ω₀L = 7071·0.2 = 1414 Ω
VL = I·XL = 0.1·1414 = 141.4 V

答え

VL = 141.4 V

これは電源電圧の Q = 28.28 倍です。

9.直流モーター

答え: T = 47.75 N·m

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。

rad/s での角速度

ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

トルク

T = P/ω = 7500/157.1 = 47.75 N·m

答え

T = 47.75 N·m
10.直流モーター

答え: D = 9.236 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。

必要な電機子電圧

Va = 0.2·31.42 + 4·1.2 = 11.08 V

デューティ比

D = 11.08/120 = 9.236 %

答え

D = 9.236 %

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