三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 12 + j9 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 400 VZ = 12 + j9 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.72 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 100 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.9VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
巻数比 N₁:N₂ = 10:1 の理想変圧器の二次巻線に 75 Ω の抵抗を接続する。一次巻線から見た抵抗 R1′ を求めよ。
N1:N2 = 10:1RL = 75 Ω
R1′ = Ω
4.変圧器むずかしい
単相 150 kVA の変圧器の鉄損は 900 W、定格負荷での銅損は 1350 W である。 効率が最大になる負荷 Sη,max を kVA で求めよ。
S = 150 kVAPcore = 900 WPcu,fl = 1350 W
Sη,max = kVA
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.9 で 12 kW を消費する。 モーターの無効電力 Q を求めよ。
P = 12 kWpf = 0.9V = 230 V
Q = kvar
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 40 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。 必要な静電容量 C を求めよ。
P = 40 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 22 µF
VC = V
9.直流モーターふつう
直流モーターが 220 V の電源から 6 A を引き込みます。電機子抵抗は 1.5 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 101 W です。効率 η を求めなさい。
V = 220 VIa = 6 ARa = 1.5 ΩProt = 101 W
η = %
10.直流モーターむずかしい
120 V の直流モーターの電機子抵抗は 0.5 Ω です。始動電流を 50 A に制限する直列の始動抵抗 Rst を求めなさい。
V = 120 VRa = 0.5 ΩImax = 50 A
Rst = Ω
3溶液
1.三相電力
答え: P = 25.6 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = VL = 400 V
相電流
|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 400/15 = 26.67 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·26.67²·12 = 25.6 kW
答え
P = 25.6 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: Cph = 265 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 100·tan(acos 0.72) = 100·0.9639 = 96.39 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.9) = 100·0.4843 = 48.43 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 47.95 kvar
1 相あたりの静電容量
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15984/(377·400²) = 265 µF
答え
Cph = 265 µF
3.変圧器
答え: R1′ = 7500 Ω
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
換算抵抗
電圧は a 倍になり、電流は 1/a 倍になるので、比 V/I は a² 倍になります。
R1′ = a²·RL = 10²·75 = 7500 Ω
答え
R1′ = 7500 Ω
4.変圧器
答え: Sη,max = 122.5 kVA
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
銅損 = 鉄損
x²·1350 = 900 → x = √(900/1350) = 0.8165
最大効率となる負荷
Sη,max = x·S = 0.8165·150 = 122.5 kVA
答え
Sη,max = 122.5 kVA
5.交流電力と力率
答え: Q = 5.812 kvar
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
位相角
φ = arccos(0.9) = 25.84°, tan φ = 0.4843
無効電力
Q = P·tan φ = 12·0.4843 = 5.812 kvar
答え
Q = 5.812 kvar
6.交流電力と力率
答え: C = 779.8 µF
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(36.87°) = 30 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(23.07°) = 17.04 kvar
QC = Q1 − Q2 = 12.96 kvar
静電容量
電源に並列につないだコンデンサは Q = V²·ωC を供給します。
C = QC/(2πf·V²) = 12960/(2π·50·230²) = 779.8 µF
答え
C = 779.8 µF
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −39.94 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−16.75)²) = 26.08 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−16.75/20) = −39.94°
答え
φ = −39.94°
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 428 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−64.02)²) = 64.8 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 230/64.8 = 3.549 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 3.549·120.6 = 428 V
答え
VC = 428 V
9.直流モーター
答え: η = 88.26 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電力
Pin = 220·6 = 1320 W
Pdev = 211·6 = 1266 W
Pout = 1266 − 101 = 1165 W
効率
η = 1165/1320·100 = 88.26 %
答え
η = 88.26 %
10.直流モーター
答え: Rst = 1.9 Ω
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
全抵抗
Ra + Rst = 120/50 = 2.4 Ω
始動抵抗器
Rst = 2.4 − 0.5 = 1.9 Ω
答え
Rst = 1.9 Ω
抵抗器は、モーターが加速して逆起電力が大きくなるにつれて、段階的に切り離されます。
ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems