三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
電力システムと電気機器：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
変圧器
- 巻数比
- a = N1/N2 = V1/V2
- 電流比
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 定格電流
- I = S/V
- 換算インピーダンス
- Z1′ = a²·ZL
- 部分負荷時の銅損
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 効率
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 最大効率
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
2演習問題
1.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 18 + j24 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 480 VZ = 18 + j24 Ω 1 相あたり
P = kW
2.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、690 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 250 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 250 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.変圧器ふつう
単相 25 kVA、10000/400 V の変圧器が定格負荷で運転している。理想変圧器とみなす。低圧巻線の電流 ILV を求めよ。
S = 25 kVAV1 = 10000 VV2 = 400 V
ILV = A
4.変圧器むずかしい
単相 50 kVA の変圧器の鉄損は 150 W、定格負荷での銅損は 300 W である。 この変圧器が定格 kVA の 75% を遅れ力率 0.95 で供給している。この負荷での全損失 Ploss を W で求めよ。
S = 50 kVAPcore = 150 WPcu,fl = 300 Wx = 0.75pf = 0.95
Ploss = W
5.交流電力と力率ふつう
インピーダンス Z = 9 + j12 Ω の負荷が 230 V（実効値）の単相電源に接続されている。 皮相電力 S を求めよ。
V = 230 VZ = 9 + j12 Ω
S = VA
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 240 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.65 で 6 kW を消費する。47 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。
P = 6 kWpf1 = 0.65V = 240 Vf = 50 HzC = 47 µF
cos φ =
7.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。 回路の力率 cos φ を求めよ。
V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
cos φ =
8.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、50 V（実効値）、500 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 50 V (rms)f = 500 HzR1 = 40 ΩR2 = 40 ΩC = 4.7 µF
I = A
9.直流モーターふつう
k = 0.4 V·s/rad の直流モーターが 48 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n0 を rpm で求めなさい。
V = 48 Vk = 0.4 V·s/rad
n0 = rpm
10.直流モーターむずかしい
48 V の直流モーターの電機子抵抗は 0.25 Ω です。始動電流を 60 A に制限する直列の始動抵抗 Rst を求めなさい。
V = 48 VRa = 0.25 ΩImax = 60 A
Rst = Ω
3溶液
1.三相電力
答え: P = 4.608 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電圧
Vph = 480/√3 = 277.1 V
相電流
|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 277.1/30 = 9.238 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·9.238²·18 = 4.608 kW
答え
P = 4.608 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
2.三相電力
答え: Cph = 1366 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 250·tan(acos 0.7) = 250·1.02 = 255.1 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.98) = 250·0.2031 = 50.76 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 204.3 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 68095/(314.2·398.4²) = 1366 µF
答え
Cph = 1366 µF
3.変圧器
答え: ILV = 62.5 A
理想変圧器：電圧は巻数の比に、電流はその逆比になります：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a、I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a。したがって入力電力と出力電力は等しく、V₁·I₁ = V₂·I₂ です。二次側の負荷インピーダンス Z は、一次側から見ると a²·Z に見えます。
定格電流
両方の巻線に同じ皮相電力が流れます。
ILV = S/V = 25000/400 = 62.5 A
答え
ILV = 62.5 A
4.変圧器
答え: Ploss = 318.8 W
変圧器の損失：鉄損（ヒステリシス損と渦電流損）は電圧で決まり、負荷によらず一定です。巻線の銅損は電流の 2 乗に比例するので、定格負荷の x 倍の負荷では x²·Pcu,fl になります。効率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)、ただし Pout = x·S·pf です。効率は銅損と鉄損が等しくなる負荷で最大になります。
この負荷での銅損
Pcu = x²·Pcu,fl = 0.5625·300 = 168.8 W
全損失
鉄損は負荷によらず一定です。
Ploss = 150 + 168.8 = 318.8 W
答え
Ploss = 318.8 W
この負荷での効率は η = 99.11% です。
5.交流電力と力率
答え: S = 3527 VA
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
電流
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 230/15 = 15.33 A
皮相電力
S = V·I = 230·15.33 = 3527 VA
答え
S = 3527 VA
6.交流電力と力率
答え: cos φ = 0.6975
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = 6·tan(arccos 0.65) = 7.015 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·47·10⁻⁶ = 850.5 var = 0.8505 kvar
Q2 = 7.015 − 0.8505 = 6.164 kvar
新しい皮相電力
S2 = √(6² + 6.164²) = 8.602 kVA
新しい力率
cos φ = P/S2 = 6/8.602 = 0.6975
答え
cos φ = 0.6975
7.交流インピーダンスとフェーザ
答え: cos φ = 0.4269
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 314.2 Ω, XC = 144.7 Ω
インピーダンス
|Z| = √(80² + (169.5)²) = 187.4 Ω
力率
cos φ = R/|Z| = 80/187.4 = 0.4269
回路は誘導性なので、力率は遅れです。
答え
cos φ = 0.4269
8.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.6961 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·500·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 29.66 − j17.51 Ω
合成インピーダンス
Z = 40 + 29.66 − j17.51 = 69.66 − j17.51 Ω
|Z| = √(69.66² + 17.51²) = 71.82 Ω
電流
I = V/|Z| = 50/71.82 = 0.6961 A
答え
I = 0.6961 A
9.直流モーター
答え: n0 = 1146 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
無負荷速度
ω₀ = V/k = 48/0.4 = 120 rad/s
n0 = 60·120/(2π) = 1146 rpm
答え
n0 = 1146 rpm
10.直流モーター
答え: Rst = 0.55 Ω
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
全抵抗
Ra + Rst = 48/60 = 0.8 Ω
始動抵抗器
Rst = 0.8 − 0.25 = 0.55 Ω
答え
Rst = 0.55 Ω
抵抗器は、モーターが加速して逆起電力が大きくなるにつれて、段階的に切り離されます。
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