静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力部材: 2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力: 結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ: F = √(F_x² + F_y²)
てこ、ペンチ、ベルクランク: F_in·a = F_out·b
トグル: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (6, 4, 0) と b = (−1, 5, 3) の内積 a·b を求めよ。

a = (6, 4, 0)b = (−1, 5, 3)

a·b =

2.ベクトル：内積と外積むずかしい

頂点 A(0, 2, 0)、B(2, −2, −3)、C(−3, 2, 2) をもつ三角形の面積 A を求めよ。座標の単位はメートルである。

A(0, 2, 0)B(2, −2, −3)C(−3, 2, 2)

A = m²

3.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 4 mP₁ = 40 kN 位置 1.5 mP₂ = 15 kN 位置 2 m

R_B = kN

4.はりの支点反力むずかしい

はりは A でピン支点、A から 8 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用し、7 m から 10 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_B を求めよ。

AB = 8 mAC = 10 mP = 55 kN 位置 2 mw = 3 kN/m（7 から 10 m まで）

R_B = kN

5.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 20 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

6.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 5 kN ←

F_AC = kN

7.ラーメンと機械ふつう

図の A 形フレームは、3 m 離れた A のピンと B のローラーで立っています。脚は高さ 2.5 m のピン C で出会い、水平なつなぎ材 DE は地面から 1 m の高さにあります。C に 10 kN の荷重が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 10 kNAB = 3 mC の高さ = 2.5 mDE の高さ = 1 m

C = kN

8.ラーメンと機械むずかしい

図の A 形フレームは、2 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 4.5 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.8 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）0.25 m の点 K に、鉛直荷重 2 kN が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 2 kNAB = 2 mC の高さ = 4.5 mDE の高さ = 1.8 mA から K までの水平距離 = 0.25 m

C = kN

9.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 0.5 m の断面におけるせん断力 V_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）x = 0.5 m

V_x = kN

10.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 5 mP = 55 kN 位置 2 mw = 2 kN/m（0 から 5 m まで）

M_max = kN·m

11.図心と断面二次モーメントふつう

150 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 97.5 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mm穴の中心: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 30 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_下端 = MPa

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = 14

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

対応する成分を掛けて足す

a·b = 6·(−1) + 4·5 + 0·3 = (−6) + 20 + 0 = 14

答え

a·b = 14

正：2 つのベクトルのなす角は 90° より小さい。

2.ベクトル：内積と外積

答え: A = 7.632 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

辺ベクトル

AB = B − A = (2, −4, −3)

AC = C − A = (−3, 0, 2)

外積

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−4)·2 − (−3)·0 = −8

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−3)·(−3) − 2·2 = 5

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·0 − (−4)·(−3) = −12

|AB × AC| = √((−8)² + 5² + (−12)²) = 15.26

三角形の面積

A = ½·15.26 = 7.632 m²

答え

A = 7.632 m²

3.はりの支点反力

答え: R_B = 22.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1.5 + 15·2

R_B = 90/4 = 22.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 22.5 = 32.5 kN

答え

R_B = 22.5 kN

4.はりの支点反力

答え: R_B = 23.31 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 3·3 = 9 kN, x̄ = (7 + 10)/2 = 8.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·2 + 9·8.5

R_B = 186.5/8 = 23.31 kN

R_A = 64 − 23.31 = 40.69 kN

答え

R_B = 23.31 kN

5.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 15 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 5 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 5 kN (C), AF: 21.21 kN (C), HE: 7.071 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 7.071 kN (T), DG: 7.071 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

6.トラス：節点法

答え: F_AC = −1.389 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·1 − 5·3 → C_y = −0.8333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −0.8333 = 10.83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−0.8333/0.5145 = 1.62 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(1.62)·0.8575 = −1.389 kN

答え

F_AC = −1.389 kN (圧縮)

7.ラーメンと機械

答え: C = 7.071 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

脚 BC から求めるつなぎ材の力

B_y = 5 kN

T = 5·1.5/1.5 = 5 kN

BC に作用するピン力の成分

C_x = T = 5 kN, C_y = −B_y = −5 kN

大きさ

C = √(5² + 5²) = 7.071 kN

答え

C = 7.071 kN

8.ラーメンと機械

答え: C = 0.2666 kN

B の支点反力

B_y = 2·0.25/2 = 0.25 kN

つなぎ材の力

T = 0.25·1/2.7 = 0.09259 kN

BC に作用するピン力

C_x = 0.09259 kN, C_y = −0.25 kN

C = √(0.09259² + 0.25²) = 0.2666 kN

答え

C = 0.2666 kN

9.せん断力と曲げモーメント

答え: V_x = 6 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2.5

R_B = 37.5/5 = 7.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7.5 = 7.5 kN

x = 0.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = R_A − （切断面より左の下向き荷重すべて）

V_x = 7.5 − 3·0.5 = 6 kN

答え

V_x = 6 kN

10.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 72 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2 + 2·5·2.5

R_B = 135/5 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 27 = 38 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(2⁻) = R_A − w·2 = 34 kN

V(2⁺) = 34 − 55 = −21 kN

荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 38·2 − 2·2²/2 = 72 kN·m

答え

M_max = 72 kN·m

それは A から x = 2 m の位置に生じます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 39.91 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 2827·97.5)/(22500 − 2827) = 71.77 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·3.234² = 42.42 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·25.73² = 2.509 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 39.91 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 39.91 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 96.91 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267.5 mm

ウェブ: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·267.5 + 4160·130)/7760 = 193.8 mm

平行軸の定理

フランジ: 240·15³/12 + 3600·(267.5 − 193.8)² = 1.963 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 16·260³/12 + 4160·(130 − 193.8)² = 4.036 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.963 × 10⁷ + 4.036 × 10⁷ = 5.999 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 193.8 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·193.8/5.999 × 10⁷ = 96.91 MPa

答え

σ_下端 = 96.91 MPa

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