Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
内積
a·b = 6·(−3) + 2·3 + 5·(−1) = −17
b の長さ
|b| = √((−3)² + 3² + (−1)²) = 4.359
スカラー射影
compb a = a·b/|b| = −17/4.359 = −3.9
答え
compb a = −3.9
負：a には b と逆向きの成分があります。
2.ベクトル：内積と外積
答え: n̂x = 0.1636
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、Fin·a = Fout·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。
リンクの角度
sin θ = 15/80 = 0.1875, θ = 10.81°
リンクの力
Flink = Q/cos θ = 3054 N
B の力
F = 2·Flink·sin θ = 2·3000·tan θ = 1145 N
答え
F = 1145 N
9.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 58.13 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·8 = 25·3 + 30·7
RB = 285/8 = 35.63 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 35.63 = 19.38 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·3 = 19.38·3 = 58.13 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 35.63·1 = 35.63 kN·m
最大値
Mmax = 58.13 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 58.13 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント
答え: xc = 3.75 m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。