静力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ベクトル：内積と外積

大きさ
|a| = √(ax² + ay² + az²)
単位ベクトル
û = a/|a|
角度から成分を求める
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
内積
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影
a·b/|b|
仕事
W = F·d
外積
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面積
平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント
MO = r × F, r = A − O
平行六面体の体積
V = |a·(b × c)|

解き方

  1. すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
  2. 長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
  3. 角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

ラーメンと機械

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2演習問題

1.ベクトル：内積と外積ふつう
xyzab

ベクトル a = (4, 4, 2) と b = (−1, −5, k) が垂直になるような k の値を求めよ。

a = (4, 4, 2)b = (−1, −5, k)
k =
2.ベクトル：内積と外積むずかしい
xyzab

a = (1, −4, −2)、b = (−6, −3, 2) のとき、外積 a × b の z 成分 (a × b)z を求めよ。

a = (1, −4, −2)b = (−6, −3, 2)
(a × b)z =
3.はりの支点反力ふつう
P1​ = 50 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?6 m1 m3 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 10 mP1 = 50 kN 位置 6 mP2 = 50 kN 位置 7 m
RB = kN
4.はりの支点反力むずかしい
w = 5 kN/mP = 55 kNABCRB​ = ?3 m1 m2 m2 m

はりは A でピン支点、A から 6 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 4 m の位置に集中荷重 P が作用し、3 m から 8 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 6 mAC = 8 mP = 55 kN 位置 4 mw = 5 kN/m（3 から 8 m まで）
RB = kN
5.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB20 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 20 kN
FAC = kN
6.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB15 kN25 kN5 m2 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 15 kN水平荷重 = 25 kN ←
FAC = kN
7.ラーメンと機械ふつう
OAB150 NQ240 mm75 mmFO​ = ?

図のベルクランクはピン O のまわりに回ります。A（O から 240 mm）での鉛直の力 150 N が、B（O の 75 mm 上）での水平な力とつり合っています。ピン反力の大きさ FO を求めなさい。

F = 150 NOA = 240 mmOB = 75 mm
FO = N
8.ラーメンと機械むずかしい
6 kN2.4 m1.2 m0.8 m0.3 mABCDEK

図の A 形フレームは、2.4 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 2 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.2 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）0.3 m の点 K に、鉛直荷重 6 kN が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。

P = 6 kNAB = 2.4 mC の高さ = 2 mDE の高さ = 1.2 mA から K までの水平距離 = 0.3 m
C = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 50 kNP2​ = 20 kNABC1 m3 m2 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP1 = 50 kN 位置 1 mP2 = 20 kN 位置 6 m支点の位置 x = 0 と x = 4 m
Mx = kN·m
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mAB2 m2 m1 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mw = 10 kN/m（2 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
11.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm150 mm45 mmØ60xIx​ = ?

200 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 45 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mm穴の中心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm240 mm72 mm30 × 50xIx​ = ?

120 mm × 240 mm の板に、幅 30 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 72 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 240 mm切り欠き: 30 × 50 mm穴の中心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.ベクトル：内積と外積

答え: k = 12

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

内積 = 0

a·b = 4·(−1) + 4·(−5) + 2·k = 0
−24 + 2·k = 0

k について解く

k = −(−24)/2 = 12

答え

k = 12
2.ベクトル：内積と外積

答え: (a × b)z = −27

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

外積を成分ごとに計算する

(a × b)x = aybz − azby = (−4)·2 − (−2)·(−3) = −14
(a × b)y = azbx − axbz = (−2)·(−6) − 1·2 = 10
(a × b)z = axby − aybx = 1·(−3) − (−4)·(−6) = −27

求める成分

(a × b)z = −27

答え

(a × b)z = −27

検算：a × b は両方のベクトルに垂直なので、a および b との内積は 0 です。

3.はりの支点反力

答え: RB = 65 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 50 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​6 m1 m3 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·10 = 50·6 + 50·7
RB = 650/10 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 65 = 35 kN

答え

RB = 65 kN
4.はりの支点反力

答え: RB = 59.58 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 5·5 = 25 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 55·4 + 25·5.5
RB = 357.5/6 = 59.58 kN
RA = 80 − 59.58 = 20.42 kN

答え

RB = 59.58 kN
5.トラス：節点法

答え: FAC = 3.75 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 15 = 5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15/0.9701 = −15.46 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−15.46)·0.2425 = 3.75 kN

答え

FAC = 3.75 kN (引張)
6.トラス：節点法

答え: FAC = −10.5 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·2 − 25·4 → Cy = −14 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −14 = 29 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−14/0.8 = 17.5 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(17.5)·0.6 = −10.5 kN

答え

FAC = −10.5 kN (圧縮)
7.ラーメンと機械

答え: FO = 502.9 N

機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、Fin·a = Fout·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。

B の力

Q = 150·240/75 = 480 N

ピン反力

Ox = 480 N, Oy = 150 N
FO = √(480² + 150²) = 502.9 N

答え

FO = 502.9 N
8.ラーメンと機械

答え: C = 1.352 kN

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

B の支点反力

By = 6·0.3/2.4 = 0.75 kN

つなぎ材の力

T = 0.75·1.2/0.8 = 1.125 kN

BC に作用するピン力

Cx = 1.125 kN, Cy = −0.75 kN
C = √(1.125² + 0.75²) = 1.352 kN

答え

C = 1.352 kN
9.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 27.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·4 = 50·1 + 20·6
RB = 170/4 = 42.5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 42.5 = 27.5 kN

P1 の位置で切断し、左側を残す

Mx = RA·1 = 27.5·1 = 27.5 kN·m

答え

Mx = 27.5 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 19.2 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2·3
RB = 60/5 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 12 = 8 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 8/10 = 2.8 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 8·2.8 − 10·0.8²/2 = 19.2 kN·m

答え

Mmax = 19.2 kN·m
11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 52.8 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·75 − 2827·45)/(30000 − 2827) = 78.12 mm

ȳ まわりの全体の板

200·150³/12 + 30000·−3.122² = 56.54 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·−33.12² = 3.738 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 52.8 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 52.8 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 134.3 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (28800·120 − 1500·72)/(28800 − 1500) = 122.6 mm

ȳ まわりの全体の板

120·240³/12 + 28800·−2.637² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·50³/12 + 1500·−50.64² = 4.159 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 134.3 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 134.3 × 10⁶ mm⁴

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