図の A 形フレームは、4.8 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 3.6 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.5 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）1.8 m の点 K に、鉛直荷重 20 kN が作用します。つなぎ材の張力 T を求めなさい。
P = 20 kNAB = 4.8 mC の高さ = 3.6 mDE の高さ = 1.5 mA から K までの水平距離 = 1.8 m
T = kN
8.ラーメンと機械むずかしい
トグルプレスに、ピン間の長さがそれぞれ 80 mm の等しい 2 本のリンク AB と BC があります。接合部 B は線 AC の 12 mm 上にあります。スライダ C で水平方向の押し付け力 5000 N を生じるには、B にどれだけの下向きの力 F が必要ですか。摩擦と重さは無視します。
Q = 5000 NAB = BC = 80 mmh = 12 mm
F = N
9.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mP1 = 30 kN 位置 2 mP2 = 65 kN 位置 9 m
Mmax = kN·m
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
40 kN @ 6 m8 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.図心と断面二次モーメントふつう
円管の外径は D = 170 mm、内径は d = 158 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
D = 170 mmd = 158 mm
r = mm
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 200 mm の板に、幅 60 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 60 × 40 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3溶液
1.ベクトル：内積と外積
答え: k = −6
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
内積 = 0
a·b = 0·(−4) + 1·k + 6·1 = 0
6 + 1·k = 0
k について解く
k = −6/1 = −6
答え
k = −6
2.ベクトル：内積と外積
答え: V = 64
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
機械：ペンチ、てこ、リンク機構、クランプは、入力の力をより大きな、または向きの異なる出力の力に変えます。1 つの部品を自由物体として描き、その支点まわりのモーメントをとります：ピン力は消え、Fin·a = Fout·b から機械的利益 a/b が得られます。ピン力は、同じ部品の ΣF = 0 から求まります。トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは二力部材なので、接合部の小さな力 F が、大きなリンク力 F/(2 sin θ) と締め付け力 F/(2 tan θ) を生みます。
リンクの角度
sin θ = 12/80 = 0.15, θ = 8.627°
リンクの力
Flink = Q/cos θ = 5057 N
B の力
F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 1517 N
答え
F = 1517 N
9.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 64.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·10 = 30·2 + 65·9
RB = 645/10 = 64.5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 64.5 = 30.5 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2 = 30.5·2 = 61 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 64.5·1 = 64.5 kN·m
最大値
Mmax = 64.5 kN·m (荷重点 P2)
答え
Mmax = 64.5 kN·m
10.せん断力と曲げモーメント
答え: F (x = 5 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
MA = 0, MB = 8, MC = 8, MD = 0, ME = −16, MF = −40 kN·m, MG = 0
答え
点 F: MF = −40 kN·m
11.図心と断面二次モーメント
答え: r = 58.02 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
A = π(D² − d²)/4 = 3091 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.041 × 10⁷ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(1.041 × 10⁷/3091) = 58.02 mm
答え
r = 58.02 mm
12.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 65.26 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (20000·100 − 2400·80)/(20000 − 2400) = 102.7 mm