図の A 形フレームは、2 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 4.5 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1.8 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）0.25 m の点 K に、鉛直荷重 15 kN が作用します。つなぎ材の張力 T を求めなさい。
P = 15 kNAB = 2 mC の高さ = 4.5 mDE の高さ = 1.8 mA から K までの水平距離 = 0.25 m
T = kN
8.ラーメンと機械むずかしい
図の壁付きブラケットの梁 AB は A でピン接合され、支柱 CD で支えられています（C は A の 1.5 m 下）。梁は全長にわたる 1 kN/m の等分布荷重と、自由端 B の 10 kN の集中荷重を受けます。支柱の力 FCD を求めなさい。
w = 1 kN/mP = 10 kNAD = 1.5 mAB = 4 mAC = 1.5 m
FCD = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
20 kN @ 4 m10 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
30 kN @ 6 m60 kN @ 1 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.図心と断面二次モーメントふつう
中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 180 mm、外高は H = 375 mm、壁厚は一様に t = 18 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
B = 180 mmH = 375 mmt = 18 mm
r = mm
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 200 mm の板に、幅 50 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 120 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 50 × 50 mm穴の中心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3溶液
1.ベクトル：内積と外積
答え: W = −95 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
変位
d = B − A = (4, −2, 5) − (0, −5, 4) = (4, 3, 1) m
仕事
W = F·d = 5·4 + (−30)·3 + (−25)·1 = −95 J
答え
W = −95 J
負の仕事：力はおもに運動に逆らって作用しています。
2.ベクトル：内積と外積
答え: (a × b)y = 23
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
外積を成分ごとに計算する
(a × b)x = aybz − azby = 3·(−5) − 6·1 = −21
(a × b)y = azbx − axbz = 6·3 − 1·(−5) = 23
(a × b)z = axby − aybx = 1·1 − 3·3 = −8
求める成分
(a × b)y = 23
答え
(a × b)y = 23
検算：a × b は両方のベクトルに垂直なので、a および b との内積は 0 です。
3.はりの支点反力
答え: MA = 705 kN·m
片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 RA と反力モーメント MA を与えます。ΣFy = 0 から RA が、壁まわりのモーメントから MA = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。
MA = 0, MB = 30, MC = 0, MD = −30, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0
答え
点 E: ME = −60 kN·m
11.図心と断面二次モーメント
答え: r = 131.6 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
b = 144 mm, h = 339 mm
A = BH − bh = 180·375 − 144·339 = 18684 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 3.235 × 10⁸ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(3.235 × 10⁸/18684) = 131.6 mm
答え
r = 131.6 mm
12.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 65 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (20000·100 − 2500·120)/(20000 − 2500) = 97.14 mm