図のベルクランクはピン O のまわりに回ります。A（O から 300 mm）での鉛直の力 250 N が、B（O の 120 mm 上）での水平な力とつり合っています。ピン反力の大きさ FO を求めなさい。
F = 250 NOA = 300 mmOB = 120 mm
FO = N
8.ラーメンと機械むずかしい
図の A 形フレームは、5 m 離れた A のピンと B のローラーで立ち、頂点のピン C は高さ 3.6 m、水平なつなぎ材 DE は地面から 1 m の高さにあります。脚 AC 上の A から（水平に）1.25 m の点 K に、鉛直荷重 8 kN が作用します。ピン C が脚 BC に及ぼす力の大きさ C を求めなさい。
P = 8 kNAB = 5 mC の高さ = 3.6 mDE の高さ = 1 mA から K までの水平距離 = 1.25 m
C = kN
9.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 4 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 70 kN 位置 4 mw = 4 kN/m（0 から 4 m まで）
MA = kN·m
10.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mP = 25 kN 位置 4.5 mw = 4 kN/m（0 から 6 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
11.図心と断面二次モーメントふつう
中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 200 mm、外高は H = 325 mm、壁厚は一様に t = 12 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
B = 200 mmH = 325 mmt = 12 mm
r = mm
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 200 mm の板に、幅 80 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 200 mm切り欠き: 80 × 30 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3溶液
1.ベクトル：内積と外積
答え: compb a = −1.155
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
内積
a·b = 0·5 + 4·5 + 6·(−5) = −10
b の長さ
|b| = √(5² + 5² + (−5)²) = 8.66
スカラー射影
compb a = a·b/|b| = −10/8.66 = −1.155
答え
compb a = −1.155
負：a には b と逆向きの成分があります。
2.ベクトル：内積と外積
答え: Mz = 20 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
O から A への位置ベクトル
r = A − O = (1, −1, −4) − (0, 0, 0) = (1, −1, −4) m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −70·4 = −280 kN·m
w: −4·4²/2 = −32 kN·m
MA = −280 − 32 = −312 kN·m
答え
MA = −312 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
10.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 39.38 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·4.5 + 4·6·3
RB = 184.5/6 = 30.75 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 30.75 = 18.25 kN
x = 3.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 18.25·3.5 − 4·3.5·1.75 = 39.38 kN·m
答え
Mx = 39.38 kN·m
11.図心と断面二次モーメント
答え: r = 119.7 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
b = 176 mm, h = 301 mm
A = BH − bh = 200·325 − 176·301 = 12024 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 1.722 × 10⁸ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(1.722 × 10⁸/12024) = 119.7 mm
答え
r = 119.7 mm
12.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 78.75 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·100 − 2400·80)/(24000 − 2400) = 102.2 mm