統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 47, 20, 25, 12。

n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 70、標準偏差 15 の正規分布に従います。92.5 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 15x = 92.5
P =
3.確率ふつう
xp(x)10.3520.330.340.05μ = 2.05

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.3, 0.05
Var(X) =
4.確率むずかしい
n = 6, p = 0.5: P(X = 2) = ?k0123456

あるテストには選択問題が 6 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 6p = 0.5k = 2
P =
5.正規分布ふつう
77.5127P = ?

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。77.5 から 127 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 100σ = 15x1 = 77.5x2 = 127
P =
6.正規分布むずかしい
10 cm0X − Y?

ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.信頼区間ふつう
n = 7, s = 17.5L = ?Ux̄ = 20.5E99%

7 個からなる標本の平均は 20.5、標準偏差は s = 17.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 7x̄ = 20.5s = 17.599%t(6) = 3.707
下限 =
8.信頼区間むずかしい
n = 15Lσ = ?s = 7.995%

機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 7.9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。

n = 15s = 7.9 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.1452.145t = ?df = 14

2 つの指導法を比べます。グループ 1：5 人の学生、平均点 49、標準偏差 4.5。グループ 2：11 人の学生、平均点 44.5、標準偏差 7。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 5x̄₁ = 49s₁ = 4.5n₂ = 11x̄₂ = 44.5s₂ = 7
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1.5α = 0.05βσ = 14, 検出力 80%, n = ?

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 1.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 14 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 80%δ = 1.5σ = 14zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.線形回帰と相関ふつう
xy37157478591021111013120xy51080100120

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 48Σy = 562Σx² = 454Σy² = 54646Σxy = 4866
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy129224325422519618xy246202530x = 1.5

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (1.5, 29) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(1.5, 29)
e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 19.65

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 163/5 = 32.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 26.4² + 14.4² + (−12.6)² + (−7.6)² + (−20.6)² = 1545

標準偏差

s = √(1545/4) = 19.65

答え

s = 19.65
2.記述統計

答え: P = 0.9332

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 1.5

標準正規分布表

Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332

答え

P = 0.9332
3.確率

答え: Var(X) = 0.8475

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.35 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.05 = 2.05

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.05 = 5.05

分散

Var(X) = 5.05 − 2.05² = 0.8475

答え

Var(X) = 0.8475
4.確率

答え: P = 0.2344

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 2) = 15·0.52·0.54 = 15·0.25·0.0625 = 0.2344

答え

P = 0.2344
5.正規分布

答え: P = 0.8973

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (77.5 − 100)/15 = −1.5
z₂ = (127 − 100)/15 = 1.8

間の面積

P = Φ(1.8) − Φ(−1.5) = 0.9641 − 0.06681 = 0.8973

答え

P = 0.8973
6.正規分布

答え: P = 0.7389

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

標準化する

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

確率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答え

P = 0.7389
7.信頼区間

答え: 下限 = −4.02

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 6, t = 3.707

誤差の幅

E = 3.707·17.5/√7 = 24.52

区間

20.5 ± 24.52 → [−4.02, 45.02]

答え

下限 = −4.02
8.信頼区間

答え: σ = 12.46 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 14·7.9² = 873.7

σ² の限界

873.7/26.119 = 33.45
873.7/5.629 = 155.2

σ の限界

σ = √155.2 = 12.46 µm

答え

σ = 12.46 µm

σ の 95% 区間：[5.784, 12.46] µm。

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.306

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

sp² = (4·4.5² + 10·7²)/14 = 40.79
sp = 6.386

標準誤差

SE = 6.386·√(1/5 + 1/11) = 3.445

検定統計量

t = (49 − 44.5)/3.445 = 1.306

答え

t = 1.306

df = 14 のとき、両側 5% の臨界値は 2.145 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 539

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 0.842)·14/1.5)² = 538.8

切り上げる

n = 539

答え

n = 539
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9876

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

Sxy = 4866 − 48·562/6 = 370
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 54646 − 562²/6 = 2005

相関係数

r = 370/√(70·2005) = 0.9876

答え

r = 0.9876
12.線形回帰と相関

答え: e = 1.995

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 137/6 = 22.83

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36.5

回帰直線

b = −36.5/17.5 = −2.086
a = 22.83 − (−2.086)·3.5 = 30.13
ŷ = 30.13 − 2.086·x

予測値

ŷ = 30.13 + (−2.086)·1.5 = 27

残差

e = 29 − 27 = 1.995

答え

e = 1.995

点は直線より上にあります。

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