統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：35, 21, 38, 57, 36, 29, 45。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。62 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 8x = 62

P =

3.確率ふつう

公正なさいころを 5 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 5

P =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 11 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.2 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.2k = 1

P =

5.正規分布ふつう

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。244 から 260.25 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 260.25

P =

6.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 25% がそれより下にある値 x（第 25 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.信頼区間ふつう

13 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −8.1、標準偏差は 3.3 です。差の平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 13d̄ = −8.1s_d = 3.399%t(12) = 3.055

上限 = mmHg

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 30 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 30E = 190%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 49 人の標本の平均点は 498.2、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 498.2s = 4n = 49

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

81 回の測定の標本平均は 51 です。母標準偏差は 4 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 51σ = 4n = 8199%

U =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 42Σy = 74Σx² = 364Σy² = 1096Σxy = 630

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 5.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 5.5

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 11.47

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 261/7 = 37.29

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−2.286)² + (−16.29)² + 0.7143² + 19.71² + (−1.286)² + (−8.286)² + 7.714² = 789.4

標準偏差

s = √(789.4/6) = 11.47

答え

s = 11.47

2.記述統計

答え: P = 0.1587

標準化する

z = −1

標準正規分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 0.1587

答え

P = 0.1587

3.確率

答え: P = 0.5981

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

答え

P = 0.5981

4.確率

答え: P = 0.2362

二項分布の公式

P(X = 1) = 11·0.2¹·0.8¹⁰ = 11·0.2·0.1074 = 0.2362

答え

P = 0.2362

5.正規分布

答え: P = 0.8647

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (244 − 250)/5 = −1.2

z₂ = (260.25 − 250)/5 = 2.05

間の面積

P = Φ(2.05) − Φ(−1.2) = 0.9798 − 0.1151 = 0.8647

答え

P = 0.8647

6.正規分布

答え: x = 246.6 g

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

x に戻す

x = 250 + −0.6745·5 = 246.63 g

答え

x = 246.63 g

7.信頼区間

答え: 上限 = −5.304 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 12, t = 3.055

誤差の幅

E = 3.055·3.3/√13 = 2.796

区間

−8.1 ± 2.796 → [−10.9, −5.304]

答え

上限 = −5.304 mmHg

8.信頼区間

答え: n = 2436

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·30/1)² = 2435

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 2436

答え

n = 2436

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −3.15

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714

検定統計量

t = (498.2 − 500)/0.5714 = −3.15

答え

t = −3.15

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: U = 52.14

誤差の幅

E = 2.576·4/√81 = 1.145

区間の端

U = 51 + 1.145 = 52.14

答え

U = 52.14

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9887

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 630 − 42·74/6 = 112

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1096 − 74²/6 = 183.3

相関係数

r = 112/√(70·183.3) = 0.9887

答え

r = 0.9887

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 46.83

平均

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 281/6 = 46.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47.5

回帰直線

b = 47.5/17.5 = 2.714

a = 46.83 − 2.714·5.5 = 31.9

ŷ = 31.9 + 2.714·x

予測

ŷ = 31.9 + 2.714·5.5 = 46.83

答え

ŷ = 46.83

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