統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：24, 28, 16, 43, 22, 52。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 50、標準偏差 10 の正規分布に従います。62.5 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 50σ = 10x = 62.5

z =

3.確率ふつう

袋に赤玉 5 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

5 / 6

P =

4.確率むずかしい

部品を 9 個試験し、各部品は独立に確率 0.6 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 9p = 0.6

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.2586 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.2586

z =

6.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの下位 60% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

7.信頼区間ふつう

21 個からなる標本の平均は 44.5、標準偏差は s = 11.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 21x̄ = 44.5s = 11.590%t(20) = 1.725

上限 =

8.信頼区間むずかしい

2 種類の肥料を試験します。区画群 1：11 区画、平均収量 91.5 kg、標準偏差 8.5 kg。区画群 2：15 区画、平均 90.5 kg、標準偏差 2 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。

n₁ = 11x̄₁ = 91.5s₁ = 8.5n₂ = 15x̄₂ = 90.5s₂ = 299%t(24) = 2.797

上限 = kg

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 49 人の標本の平均点は 72、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 72s = 15n = 49

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

81 回の測定の標本平均は 47.8 です。母標準偏差は 20 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 47.8σ = 20n = 8190%

U =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 5.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 5.5

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 13.78

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 185/6 = 30.83

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−6.833)² + (−2.833)² + (−14.83)² + 12.17² + (−8.833)² + 21.17² = 948.8

標準偏差

s = √(948.8/5) = 13.78

答え

s = 13.78

2.記述統計

答え: z = 1.25

標準化する

z = (62.5 − 50)/10 = 1.25

答え

z = 1.25

3.確率

答え: P = 0.1818

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0.1818

答え

P = 0.1818

4.確率

答え: P = 0.003801

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.4⁹ = 0.0002621

P(X = 1) = 9·0.6·0.4⁸ = 0.003539

足し合わせる

P = 0.0002621 + 0.003539 = 0.003801

答え

P = 0.003801

5.正規分布

答え: z = 0.33

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.2586)/2 = 0.6293

z 表を逆に読む

表の中で 0.6293 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.33

答え

z = 0.33

6.正規分布

答え: x = 510 h

左側の面積

Φ(z) = 0.6

表からの z

z ≈ 0.25

元の単位に戻す

x = 500 + 0.25·40 = 510 h

答え

x = 510 h

7.信頼区間

答え: 上限 = 48.83

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 20, t = 1.725

誤差の幅

E = 1.725·11.5/√21 = 4.329

区間

44.5 ± 4.329 → [40.17, 48.83]

答え

上限 = 48.83

8.信頼区間

答え: 上限 = 7.324 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

プールした標準偏差

s_p² = (10·8.5² + 14·2²)/24 = 32.44

s_p = 5.695

誤差の幅

E = 2.797·5.695·√(1/11 + 1/15) = 6.324

区間

1 ± 6.324 → [−5.324, 7.324]

答え

上限 = 7.324 kg

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143

検定統計量

t = (72 − 75)/2.143 = −1.4

答え

t = −1.4

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: U = 51.46

誤差の幅

E = 1.645·20/√81 = 3.656

区間の端

U = 47.8 + 3.656 = 51.46

答え

U = 51.46

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9844

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 476/5 = 95.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1963

決定係数

r² = 278²/(40·1963) = 0.9844

答え

r² = 0.9844

y の変動の約 98.44% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 16.1

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 123/6 = 20.5

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38.5

回帰直線

b = −38.5/17.5 = −2.2

a = 20.5 − (−2.2)·3.5 = 28.2

ŷ = 28.2 − 2.2·x

予測

ŷ = 28.2 + (−2.2)·5.5 = 16.1

答え

ŷ = 16.1

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