統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：46, 29, 17, 41, 10, 25。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 10 の正規分布に従います。165 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 10x = 165

z =

3.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.25, 0.3, 0.35

Var(X) =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 10X + 20 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.35Y = 10X + 20

σ_Y =

5.正規分布ふつう

セメント袋の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 8 個の合計質量が 200.7 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8> 200.7 kg

P =

6.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの下位 70% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

7.信頼区間ふつう

13 個からなる標本の平均は 111、標準偏差は s = 10 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 13x̄ = 111s = 1090%t(12) = 1.782

E =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 22 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 22E = 390%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 64 人の標本の平均点は 97.9、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 97.9s = 12n = 64

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 2.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 80%δ = 2.5σ = 10z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (16.5, 37) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(16.5, 37)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 13.77

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 168/6 = 28

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 18² + 1² + (−11)² + 13² + (−18)² + (−3)² = 948

標準偏差

s = √(948/5) = 13.77

答え

s = 13.77

2.記述統計

答え: z = −0.5

標準化する

z = (165 − 170)/10 = −0.5

答え

z = −0.5

3.確率

答え: Var(X) = 0.99

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.1 + 2·0.25 + 3·0.3 + 4·0.35 = 2.9

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.1 + 4·0.25 + 9·0.3 + 16·0.35 = 9.4

分散

Var(X) = 9.4 − 2.9² = 0.99

答え

Var(X) = 0.99

4.確率

答え: σ_Y = 9.734

X のばらつき

μ = 2.95, Var(X) = 0.9475, σ_X = 0.9734

一次変換

σ_Y = |10|·0.9734 = 9.734

答え

σ_Y = 9.734

平均は変化します：E(Y) = 10·2.95 + 20 = 49.5。

5.正規分布

答え: P = 0.3121

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 200 kg, σ_T = 0.5·√8 = 1.414 kg

標準化する

z = (200.7 − 200)/1.414 = 0.49

確率

P = 1 − Φ(0.49) = 0.3121

答え

P = 0.3121

6.正規分布

答え: x = 181.6 cm

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.7

表からの z

z ≈ 0.52

元の単位に戻す

x = 178 + 0.52·7 = 181.6 cm

答え

x = 181.6 cm

7.信頼区間

答え: E = 4.942

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 12, t = 1.782

誤差の幅

E = 1.782·10/√13 = 4.942

答え

E = 4.942

8.信頼区間

答え: n = 146

n について解く

n = (1.645·22/3)² = 145.5

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 146

答え

n = 146

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5

検定統計量

t = (97.9 − 100)/1.5 = −1.4

答え

t = −1.4

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 99

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 0.842)·10/2.5)² = 98.96

切り上げる

n = 99

答え

n = 99

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9768

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 498/5 = 99.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 360

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1509

相関係数

r = 360/√(90·1509) = 0.9768

答え

r = 0.9768

12.線形回帰と相関

答え: e = 3.881

平均

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 317/6 = 52.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 517.5

回帰直線

b = 517.5/157.5 = 3.286

a = 52.83 − 3.286·22.5 = −21.1

ŷ = −21.1 + 3.286·x

予測値

ŷ = −21.1 + 3.286·16.5 = 33.12

残差

e = 37 − 33.12 = 3.881

答え

e = 3.881

点は直線より上にあります。

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