統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 35, 57, 39, 22, 12。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 70、標準偏差 5 の正規分布に従います。65 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 70σ = 5x = 65
z =
3.確率ふつう
n = 9k = 3N = ?

9 人のグループから 3 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 9k = 3
N =
4.確率むずかしい
xp(x)10.3520.0530.1540.350.15μ

X は示された分布をもち、Y = 3X + 4 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.05, 0.15, 0.3, 0.15Y = 3X + 4
σY =
5.正規分布ふつう
750 g740.2 gX + Y?

X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 740.2 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 740.2 g
P =
6.正規分布むずかしい
μ = 65x = ?20%

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。全体の 20% がそれより下にある値 x（第 20 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 65σ = 10P = 20%
x = 点
7.信頼区間ふつう
n = 7, sd​ = 3.80L = ?Ud̄ = 6E99%

7 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 6、標準偏差は 3.8 です。 差の平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 7d̄ = 6sd = 3.899%t(6) = 3.707
下限 = mmHg
8.信頼区間むずかしい
σ = 28, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.595%

母標準偏差は 28 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 28E = 0.595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.01102.011

学生 49 人の標本の平均点は 498.1、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 498.1s = 5n = 49
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −2.57602.576

81 回の測定の標本平均は 501.2 です。母標準偏差は 5 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 501.2σ = 5n = 8199%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
xy123222321417519xy24182022

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 15Σy = 102Σx² = 55Σy² = 2104Σxy = 293
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy125224320417516615xy246152025ŷ = 22

表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 22 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 22
x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 16.85

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 181/6 = 30.17

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−14.17)² + 4.833² + 26.83² + 8.833² + (−8.167)² + (−18.17)² = 1419

標準偏差

s = √(1419/5) = 16.85

答え

s = 16.85
2.記述統計

答え: z = −1

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (65 − 70)/5 = −1

答え

z = −1
3.確率

答え: N = 84

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

答え

N = 84
4.確率

答え: σY = 4.577

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 2.85, Var(X) = 2.328, σX = 1.526

一次変換

σY = |3|·1.526 = 4.577

答え

σY = 4.577

平均は変化します：E(Y) = 3·2.85 + 4 = 12.55。

5.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

標準化する

z = (740.2 − 750)/9.849 = −1

上側確率

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

答え

P = 0.8413
6.正規分布

答え: x = 56.58 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

x に戻す

x = 65 + −0.8416·10 = 56.58 点

答え

x = 56.58 点
7.信頼区間

答え: 下限 = 0.6758 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 6, t = 3.707

誤差の幅

E = 3.707·3.8/√7 = 5.324

区間

6 ± 5.324 → [0.6758, 11.32]

答え

下限 = 0.6758 mmHg
8.信頼区間

答え: n = 12048

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·28/0.5)² = 12047

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 12048

答え

n = 12048
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.66

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

検定統計量

t = (498.1 − 500)/0.7143 = −2.66

答え

t = −2.66
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 499.8

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 2.576·5/√81 = 1.431

区間の端

L = 501.2 − 1.431 = 499.8

答え

L = 499.8
11.線形回帰と相関

答え: r = −0.8535

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

Sxy = 293 − 15·102/5 = −13
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2104 − 102²/5 = 23.2

相関係数

r = −13/√(10·23.2) = −0.8535

答え

r = −0.8535
12.線形回帰と相関

答え: x = 2.364

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 117/6 = 19.5

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38.5

回帰直線

b = −38.5/17.5 = −2.2
a = 19.5 − (−2.2)·3.5 = 27.2
ŷ = 27.2 − 2.2·x

x について解く

x = (22 − 27.2)/(−2.2) = 2.364

答え

x = 2.364

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