統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：21, 56, 43, 13, 60, 11。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 50、標準偏差 20 の正規分布に従います。80 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 50σ = 20x = 80

P =

3.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.05, 0.35, 0.3

Var(X) =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 0.5X + 20 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.1, 0.35, 0.25Y = 0.5X + 20

σ_Y =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.4713 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.4713

z =

6.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの上位 85% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

7.信頼区間ふつう

30 個からなる標本の平均は 43、標準偏差は s = 11.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 30x̄ = 43s = 11.590%t(29) = 1.699

上限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 21 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 21E = 195%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 64 人の標本の平均点は 501.5、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 501.5s = 5n = 64

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

49 回の測定の標本平均は 202.6 です。母標準偏差は 15 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 202.6σ = 15n = 4999%

U =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 15Σy = 105Σx² = 55Σy² = 2325Σxy = 281

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 18.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 18.5

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 21.82

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 204/6 = 34

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−13)² + 22² + 9² + (−21)² + 26² + (−23)² = 2380

標準偏差

s = √(2380/5) = 21.82

答え

s = 21.82

2.記述統計

答え: P = 0.06681

標準化する

z = 1.5

標準正規分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

答え

P = 0.06681

3.確率

答え: Var(X) = 1.428

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.3 + 2·0.05 + 3·0.35 + 4·0.3 = 2.65

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.05 + 9·0.35 + 16·0.3 = 8.45

分散

Var(X) = 8.45 − 2.65² = 1.428

答え

Var(X) = 1.428

4.確率

答え: σ_Y = 1.161

X のばらつき

μ = 3.1, Var(X) = 5.39, σ_X = 2.322

一次変換

σ_Y = |0.5|·2.322 = 1.161

答え

σ_Y = 1.161

平均は変化します：E(Y) = 0.5·3.1 + 20 = 21.55。

5.正規分布

答え: z = 0.63

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.4713)/2 = 0.7357

z 表を逆に読む

表の中で 0.7357 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.63

答え

z = 0.63

6.正規分布

答え: x = 458 h

左側の面積

Φ(z) = 0.15

表からの z

z ≈ −1.04

元の単位に戻す

x = 500 − 1.04·40 = 458 h

答え

x = 458 h

7.信頼区間

答え: 上限 = 46.57

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 29, t = 1.699

誤差の幅

E = 1.699·11.5/√30 = 3.567

区間

43 ± 3.567 → [39.43, 46.57]

答え

上限 = 46.57

8.信頼区間

答え: n = 1695

n について解く

n = (1.96·21/1)² = 1694

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 1695

答え

n = 1695

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

検定統計量

t = (501.5 − 500)/0.625 = 2.4

答え

t = 2.4

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: U = 208.1

誤差の幅

E = 2.576·15/√49 = 5.52

区間の端

U = 202.6 + 5.52 = 208.1

答え

U = 208.1

11.線形回帰と相関

答え: r = −0.9815

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 281 − 15·105/5 = −34

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2325 − 105²/5 = 120

相関係数

r = −34/√(10·120) = −0.9815

答え

r = −0.9815

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 101.6

平均

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 554/5 = 110.8

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 549

回帰直線

b = 549/90 = 6.1

a = 110.8 − 6.1·20 = −11.2

ŷ = −11.2 + 6.1·x

予測

ŷ = −11.2 + 6.1·18.5 = 101.6

答え

ŷ = 101.6

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