記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：47, 60, 21, 23, 57。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。75 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 12x = 75
z =
3.確率ふつう
公正なさいころを 8 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 8
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 9 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 9p = 0.5k = 3
P =
5.正規分布ふつう
X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 754.9 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 754.9 g
P =
6.正規分布むずかしい
電池の寿命 は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの上位 20% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
7.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：40 台、平均 99.5 h、既知の標準偏差 16 h。機種 2：50 台、平均 97.5 h、既知の標準偏差 5 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 40x̄₁ = 99.5 hσ₁ = 16 hn₂ = 50x̄₂ = 97.5 hσ₂ = 5 h90%
下限 = h
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：6 区画、平均収量 60.5 kg、標準偏差 7 kg。区画群 2：10 区画、平均 50.5 kg、標準偏差 3 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 6x̄₁ = 60.5s₁ = 7n₂ = 10x̄₂ = 50.5s₂ = 395%t(14) = 2.145
上限 = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 205.7、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 205.7s = 20n = 36
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 21 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.05検出力 = 80%δ = 5σ = 21zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 27Σy = 401Σx² = 139Σy² = 27283Σxy = 1894
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (10, 91) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(10, 91)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.54
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 208/5 = 41.6
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 5.4² + 18.4² + (−20.6)² + (−18.6)² + 15.4² = 1375
標準偏差
s = √(1375/4) = 18.54
答え
s = 18.54
2.記述統計
答え: z = 1.25
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (75 − 60)/12 = 1.25
答え
z = 1.25
3.確率
答え: P = 0.7674
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674
答え
P = 0.7674
4.確率
答え: P = 0.1641
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 3) = 84·0.53·0.56 = 84·0.125·0.01563 = 0.1641
答え
P = 0.1641
5.正規分布
答え: P = 0.3085
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
標準化する
z = (754.9 − 750)/9.849 = 0.5
上側確率
P = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085
答え
P = 0.3085
6.正規分布
答え: x = 534 h
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.8
表からの z
z ≈ 0.84
元の単位に戻す
x = 500 + 0.84·40 = 534 h
答え
x = 534 h
7.信頼区間
答え: 下限 = −2.321 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 99.5 − 97.5 = 2
標準誤差
SE = √(16²/40 + 5²/50) = 2.627
誤差の幅
E = 1.645·2.627 = 4.321
区間
2 ± 4.321 → [−2.321, 6.321]
答え
下限 = −2.321 h
区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。
8.信頼区間
答え: 上限 = 15.35 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (5·7² + 9·3²)/14 = 23.29
sp = 4.826
誤差の幅
E = 2.145·4.826·√(1/6 + 1/10) = 5.345
区間
10 ± 5.345 → [4.655, 15.35]
答え
上限 = 15.35 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.71
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 20/√36 = 20/6 = 3.333
検定統計量
t = (205.7 − 200)/3.333 = 1.71
答え
t = 1.71
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 110
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((1.645 + 0.842)·21/5)² = 109.1
切り上げる
n = 110
答え
n = 110
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9737
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 1894 − 27·401/6 = 89.5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17.5
Syy = 27283 − 401²/6 = 482.8
相関係数
r = 89.5/√(17.5·482.8) = 0.9737
答え
r = 0.9737
12.線形回帰と相関
答え: e = −3
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 492/6 = 82
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 420
回帰直線
b = 420/70 = 6
a = 82 − 6·8 = 34
ŷ = 34 + 6·x
予測値
ŷ = 34 + 6·10 = 94
残差
e = 91 − 94 = −3
答え
e = −3
点は直線より下にあります。
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