記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：37, 22, 29, 42, 27, 20, 41。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 500、標準偏差 50 の正規分布に従います。520 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 500σ = 50x = 520
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.2, 0.35, 0.1, 0.15
σ =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €3 です。確率 0.25 で €9、確率 0.05 で €30 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €3€9: p = 0.25€30: p = 0.05
E(G) = €
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0188 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.0188
z =
6.正規分布むずかしい
IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの上位 60% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 100 点σ = 15 点60%
x = 点
7.信頼区間ふつう
16 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 4.3、標準偏差は 4 です。 差の平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 16d̄ = 4.3sd = 499%t(15) = 2.947
E = mmHg
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 29 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 29E = 2.595%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 81 人の標本の平均点は 194.2、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 194.2s = 20n = 81
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 50 対 H₁: μ > 50 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 10 であることがわかっています。実際の平均は 52.2 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 50μ = 52.2σ = 10n = 25α = 0.10
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (3, 56) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(3, 56)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 8.934
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 218/7 = 31.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 5.857² + (−9.143)² + (−2.143)² + 10.86² + (−4.143)² + (−11.14)² + 9.857² = 478.9
標準偏差
s = √(478.9/6) = 8.934
答え
s = 8.934
2.記述統計
答え: P = 0.6554
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 0.4
標準正規分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
答え
P = 0.6554
3.確率
答え: σ = 1.288
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 1·0.2 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.1 + 5·0.15 = 2.8
2 乗の平均
E(X²) = 1·0.2 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.1 + 25·0.15 = 9.5
分散
Var(X) = 9.5 − 2.8² = 1.66
σ = √1.66 = 1.288
答え
σ = 1.288
4.確率
答え: E(G) = 0.75 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 6 (p = 0.25), 27 (p = 0.05), −3 (p = 0.7)
期待値
E(G) = 6·0.25 + 27·0.05 − 3·0.7 = 0.75 €
答え
E(G) = 0.75 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
5.正規分布
答え: z = 2.08
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.0188 = 0.9812
z 表を逆に読む
表の中で 0.9812 を見つけ、z を読み取ります。
z = 2.08
答え
z = 2.08
6.正規分布
答え: x = 96.3 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.4
表からの z
z ≈ −0.25
元の単位に戻す
x = 100 − 0.25·15 = 96.3 点
答え
x = 96.3 点
7.信頼区間
答え: E = 2.947 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
臨界値
df = 15, t = 2.947
誤差の幅
E = 2.947·4/√16 = 2.947
答え
E = 2.947 mmHg
8.信頼区間
答え: n = 517
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·29/2.5)² = 516.9
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 517
答え
n = 517
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.61
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 20/√81 = 20/9 = 2.222
検定統計量
t = (194.2 − 200)/2.222 = −2.61
答え
t = −2.61
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 57.22 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 50 + 1.282·2 = 52.56
真の平均のもとでの z
z = (52.56 − 52.2)/2 = 0.182
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z > 0.182) = 42.78%
β = 100% − 42.78% = 57.22%
答え
β = 57.22%
11.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9889
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 448/5 = 89.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 483
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2621
決定係数
r² = 483²/(90·2621) = 0.9889
答え
r² = 0.9889
y の変動の約 98.89% が直線で説明されます。
12.線形回帰と相関
答え: e = −2.3
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 335/5 = 67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
回帰直線
b = 116/40 = 2.9
a = 67 − 2.9·6 = 49.6
ŷ = 49.6 + 2.9·x
予測値
ŷ = 49.6 + 2.9·3 = 58.3
残差
e = 56 − 58.3 = −2.3
答え
e = −2.3
点は直線より下にあります。
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