統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 49, 40, 24, 29, 13。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 100、標準偏差 5 の正規分布に従います。110 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 100σ = 5x = 110

z =

3.確率ふつう

公正なさいころを 3 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 3

P =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.2 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 10p = 0.2k = 2

P =

5.正規分布ふつう

荷物を持つ乗客の質量は互いに独立で、平均 85 kg、標準偏差 12 kg の正規分布に従います。そのうち 5 個の合計質量が 451.8 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 451.8 kg

P =

6.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.信頼区間ふつう

10 個からなる標本の平均は 105.5、標準偏差は s = 12 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 10x̄ = 105.5s = 1295%t(9) = 2.262

下限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 23 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 23E = 0.599%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 25 人の標本の平均点は 127.2、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 127.2s = 15n = 25

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 15 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 15E = 390%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (1.5, 28) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(1.5, 28)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 12.93

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 194/6 = 32.33

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 6.667² + 16.67² + 7.667² + (−8.333)² + (−3.333)² + (−19.33)² = 835.3

標準偏差

s = √(835.3/5) = 12.93

答え

s = 12.93

2.記述統計

答え: z = 2

標準化する

z = (110 − 100)/5 = 2

答え

z = 2

3.確率

答え: P = 0.4213

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

答え

P = 0.4213

4.確率

答え: P = 0.302

二項分布の公式

P(X = 2) = 45·0.2²·0.8⁸ = 45·0.04·0.1678 = 0.302

答え

P = 0.302

5.正規分布

答え: P = 0.1587

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26.83 kg

標準化する

z = (451.8 − 425)/26.83 = 1

確率

P = 1 − Φ(1) = 0.1587

答え

P = 0.1587

6.正規分布

答え: P = 0.8413

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

7.信頼区間

答え: 下限 = 96.92

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 9, t = 2.262

誤差の幅

E = 2.262·12/√10 = 8.584

区間

105.5 ± 8.584 → [96.92, 114.1]

答え

下限 = 96.92

8.信頼区間

答え: n = 14042

n について解く

n = (2.576·23/0.5)² = 14041

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 14042

答え

n = 14042

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

検定統計量

t = (127.2 − 120)/3 = 2.4

答え

t = 2.4

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 68

n について解く

n = (1.645·15/3)² = 67.65

切り上げる

n = 68

答え

n = 68

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9897

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 254/5 = 50.8

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 232.8

決定係数

r² = 96²/(40·232.8) = 0.9897

答え

r² = 0.9897

y の変動の約 98.97% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: e = 4.1

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 103/5 = 20.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

回帰直線

b = −22/10 = −2.2

a = 20.6 − (−2.2)·3 = 27.2

ŷ = 27.2 − 2.2·x

予測値

ŷ = 27.2 + (−2.2)·1.5 = 23.9

残差

e = 28 − 23.9 = 4.1

答え

e = 4.1

点は直線より上にあります。

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