記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 37, 54, 16, 28。
n = 5
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。80 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 70σ = 8x = 80
z =
3.確率ふつう
公正なさいころを 7 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 7
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 9 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.25 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 9p = 0.25k = 3
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.8365 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.8365
z =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.信頼区間ふつう
21 個からなる標本の平均は 87、標準偏差は s = 12.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 21x̄ = 87s = 12.595%t(20) = 2.086
E =
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：13 区画、平均収量 81 kg、標準偏差 4 kg。区画群 2：8 区画、平均 86 kg、標準偏差 7 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 13x̄₁ = 81s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 86s₂ = 790%t(19) = 1.729
上限 = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 78.43、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 78.43s = 10n = 49
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 20E = 190%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (10, 61) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(10, 61)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 14.06
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 174/5 = 34.8
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 4.2² + 2.2² + 19.2² + (−18.8)² + (−6.8)² = 790.8
標準偏差
s = √(790.8/4) = 14.06
答え
s = 14.06
2.記述統計
答え: z = 1.25
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (80 − 70)/8 = 1.25
答え
z = 1.25
3.確率
答え: P = 0.7209
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
答え
P = 0.7209
4.確率
答え: P = 0.2336
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 3) = 84·0.253·0.756 = 84·0.01563·0.178 = 0.2336
答え
P = 0.2336
5.正規分布
答え: z = −0.98
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.8365 = 0.1635
z 表を逆に読む
表の中で 0.1635 を見つけ、z を読み取ります。
z = −0.98
答え
z = −0.98
6.正規分布
答え: P = 0.8264
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm
標準化する
z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94
確率
P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264
答え
P = 0.8264
7.信頼区間
答え: E = 5.69
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 20, t = 2.086
誤差の幅
E = 2.086·12.5/√21 = 5.69
答え
E = 5.69
8.信頼区間
答え: 上限 = −0.8772 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (12·4² + 7·7²)/19 = 28.16
sp = 5.306
誤差の幅
E = 1.729·5.306·√(1/13 + 1/8) = 4.123
区間
−5 ± 4.123 → [−9.123, −0.8772]
答え
上限 = −0.8772 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.401
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429
検定統計量
t = (78.43 − 75)/1.429 = 2.401
答え
t = 2.401
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 1083
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.645·20/1)² = 1082
切り上げる
n = 1083
答え
n = 1083
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.987
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 481/5 = 96.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 390
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1735
相関係数
r = 390/√(90·1735) = 0.987
答え
r = 0.987
12.線形回帰と相関
答え: e = −3.367
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 349/6 = 58.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 217
回帰直線
b = 217/70 = 3.1
a = 58.17 − 3.1·8 = 33.37
ŷ = 33.37 + 3.1·x
予測値
ŷ = 33.37 + 3.1·10 = 64.37
残差
e = 61 − 64.37 = −3.367
答え
e = −3.367
点は直線より下にあります。
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