統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：43, 37, 36, 22, 28。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。55 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 60σ = 5x = 55

P =

3.確率ふつう

7 人のグループから 2 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 7k = 2

N =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 9 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.6 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 9p = 0.6k = 4

P =

5.正規分布ふつう

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。175.9 から 181.5 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 178σ = 7x₁ = 175.9x₂ = 181.5

P =

6.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの上位 5% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.信頼区間ふつう

16 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 6.9、標準偏差は 7.9 です。差の平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 16d̄ = 6.9s_d = 7.999%t(15) = 2.947

下限 = mmHg

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 19 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 19E = 299%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 100 人の標本の平均点は 201.4、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 200x̄ = 201.4s = 12n = 100

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

49 回の測定の標本平均は 498.3 です。母標準偏差は 12 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 498.3σ = 12n = 4999%

L =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 21Σy = 134Σx² = 91Σy² = 3088Σxy = 431

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 46 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 46

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 8.228

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 166/5 = 33.2

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 9.8² + 3.8² + 2.8² + (−11.2)² + (−5.2)² = 270.8

標準偏差

s = √(270.8/4) = 8.228

答え

s = 8.228

2.記述統計

答え: P = 0.8413

標準化する

z = −1

標準正規分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

答え

P = 0.8413

3.確率

答え: N = 21

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21

答え

N = 21

4.確率

答え: P = 0.1672

二項分布の公式

P(X = 4) = 126·0.6⁴·0.4⁵ = 126·0.1296·0.01024 = 0.1672

答え

P = 0.1672

5.正規分布

答え: P = 0.3094

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (175.9 − 178)/7 = −0.3

z₂ = (181.5 − 178)/7 = 0.5

間の面積

P = Φ(0.5) − Φ(−0.3) = 0.6915 − 0.3821 = 0.3094

答え

P = 0.3094

6.正規分布

答え: x = 566 h

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.95

表からの z

z ≈ 1.64

元の単位に戻す

x = 500 + 1.64·40 = 566 h

答え

x = 566 h

7.信頼区間

答え: 下限 = 1.08 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 15, t = 2.947

誤差の幅

E = 2.947·7.9/√16 = 5.82

区間

6.9 ± 5.82 → [1.08, 12.72]

答え

下限 = 1.08 mmHg

8.信頼区間

答え: n = 599

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·19/2)² = 598.9

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 599

答え

n = 599

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.167

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2

検定統計量

t = (201.4 − 200)/1.2 = 1.167

答え

t = 1.167

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 493.9

誤差の幅

E = 2.576·12/√49 = 4.416

区間の端

L = 498.3 − 4.416 = 493.9

答え

L = 493.9

11.線形回帰と相関

答え: r = −0.9303

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 431 − 21·134/6 = −38

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 3088 − 134²/6 = 95.33

相関係数

r = −38/√(17.5·95.33) = −0.9303

答え

r = −0.9303

12.線形回帰と相関

答え: x = 4.436

平均

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 301/6 = 50.17

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68.5

回帰直線

b = 68.5/17.5 = 3.914

a = 50.17 − 3.914·5.5 = 28.64

ŷ = 28.64 + 3.914·x

x について解く

x = (46 − 28.64)/3.914 = 4.436

答え

x = 4.436

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1