統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：35, 59, 19, 47, 43。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。172 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 5x = 172

P =

3.確率ふつう

袋に赤玉 6 個と青玉 7 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

6 / 7

P =

4.確率むずかしい

ゲームの参加費は €1 です。確率 0.2 で €2、確率 0.01 で €10 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €1€2: p = 0.2€10: p = 0.01

E(G) = €

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0968 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.0968

z =

6.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

7.信頼区間ふつう

8 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 6.9、標準偏差は 1.9 です。差の平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 8d̄ = 6.9s_d = 1.999%t(7) = 3.499

E = mmHg

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 37 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 37E = 0.590%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 196.6、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 200x̄ = 196.6s = 15n = 16

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 8 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 8E = 0.595%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 19 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 19

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 14.86

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 203/5 = 40.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−5.6)² + 18.4² + (−21.6)² + 6.4² + 2.4² = 883.2

標準偏差

s = √(883.2/4) = 14.86

答え

s = 14.86

2.記述統計

答え: P = 0.3446

標準化する

z = 0.4

標準正規分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 1 − 0.6554 = 0.3446

答え

P = 0.3446

3.確率

答え: P = 0.1923

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0.1923

答え

P = 0.1923

4.確率

答え: E(G) = −0.5 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 1 (p = 0.2), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.79)

期待値

E(G) = 1·0.2 + 9·0.01 − 1·0.79 = −0.5 €

答え

E(G) = −0.5 €

負の値は、平均して損をすることを意味します。

5.正規分布

答え: z = 1.3

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.0968 = 0.9032

z 表を逆に読む

表の中で 0.9032 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.30

答え

z = 1.30

6.正規分布

答え: x = 434.2 h

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

x に戻す

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

答え

x = 434.2 h

7.信頼区間

答え: E = 2.35 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 7, t = 3.499

誤差の幅

E = 3.499·1.9/√8 = 2.35

答え

E = 2.35 mmHg

8.信頼区間

答え: n = 14819

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·37/0.5)² = 14818

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 14819

答え

n = 14819

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −0.9067

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

検定統計量

t = (196.6 − 200)/3.75 = −0.9067

答え

t = −0.9067

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 984

n について解く

n = (1.96·8/0.5)² = 983.4

切り上げる

n = 984

答え

n = 984

11.線形回帰と相関

答え: r = −0.9667

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 98/6 = 16.33

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 165.3

相関係数

r = −52/√(17.5·165.3) = −0.9667

答え

r = −0.9667

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 94.85

平均

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 450/5 = 90

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194

回帰直線

b = 194/40 = 4.85

a = 90 − 4.85·18 = 2.7

ŷ = 2.7 + 4.85·x

予測

ŷ = 2.7 + 4.85·19 = 94.85

答え

ŷ = 94.85

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