記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：35, 16, 20, 54, 60, 13。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 25 の正規分布に従います。450 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 25x = 450
z =
3.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.3, 0.15, 0.1, 0.25
σ =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = −2X − 3 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.3, 0.2Y = −2X − 3
σY =
5.正規分布ふつう
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。482 から 560 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 500σ = 40x1 = 482x2 = 560
P =
6.正規分布むずかしい
IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの上位 20% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 100 点σ = 15 点20%
x = 点
7.信頼区間ふつう
12 個からなる標本の平均は 41.5、標準偏差は s = 5.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 12x̄ = 41.5s = 5.595%t(11) = 2.201
上限 =
8.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：5 区画、平均収量 61 kg、標準偏差 2 kg。区画群 2：21 区画、平均 64.5 kg、標準偏差 5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 5x̄₁ = 61s₁ = 2n₂ = 21x̄₂ = 64.5s₂ = 590%t(24) = 1.711
上限 = kg
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 81 人の標本の平均点は 52、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 50x̄ = 52s = 15n = 81
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 10E = 190%
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 6 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 6
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 20.16
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 198/6 = 33
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 2² + (−17)² + (−13)² + 21² + 27² + (−20)² = 2032
標準偏差
s = √(2032/5) = 20.16
答え
s = 20.16
2.記述統計
答え: z = −2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (450 − 500)/25 = −2
答え
z = −2
3.確率
答え: σ = 1.48
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.2 + 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.1 + 4·0.25 = 1.9
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.2 + 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.1 + 16·0.25 = 5.8
分散
Var(X) = 5.8 − 1.9² = 2.19
σ = √2.19 = 1.48
答え
σ = 1.48
4.確率
答え: σY = 4.099
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 3, Var(X) = 4.2, σX = 2.049
一次変換
σY = |−2|·2.049 = 4.099
答え
σY = 4.099
平均は変化します：E(Y) = −2·3 − 3 = −9。
5.正規分布
答え: P = 0.6068
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (482 − 500)/40 = −0.45
z₂ = (560 − 500)/40 = 1.5
間の面積
P = Φ(1.5) − Φ(−0.45) = 0.9332 − 0.3264 = 0.6068
答え
P = 0.6068
6.正規分布
答え: x = 112.6 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.8
表からの z
z ≈ 0.84
元の単位に戻す
x = 100 + 0.84·15 = 112.6 点
答え
x = 112.6 点
7.信頼区間
答え: 上限 = 44.99
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 11, t = 2.201
誤差の幅
E = 2.201·5.5/√12 = 3.495
区間
41.5 ± 3.495 → [38.01, 44.99]
答え
上限 = 44.99
8.信頼区間
答え: 上限 = 0.4479 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (4·2² + 20·5²)/24 = 21.5
sp = 4.637
誤差の幅
E = 1.711·4.637·√(1/5 + 1/21) = 3.948
区間
−3.5 ± 3.948 → [−7.448, 0.4479]
答え
上限 = 0.4479 kg
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√81 = 15/9 = 1.667
検定統計量
t = (52 − 50)/1.667 = 1.2
答え
t = 1.2
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 271
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.645·10/1)² = 270.6
切り上げる
n = 271
答え
n = 271
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.8874
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 325/5 = 65
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
Syy = Σ(y − ȳ)² = 224
相関係数
r = 42/√(10·224) = 0.8874
答え
r = 0.8874
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 47.88
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 331/6 = 55.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255
回帰直線
b = 255/70 = 3.643
a = 55.17 − 3.643·8 = 26.02
ŷ = 26.02 + 3.643·x
予測
ŷ = 26.02 + 3.643·6 = 47.88
答え
ŷ = 47.88
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