統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：42, 29, 59, 46, 12, 34, 13。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。60 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 10x = 60

P =

3.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

σ =

4.確率むずかしい

部品を 12 個試験し、各部品は独立に確率 0.25 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 12p = 0.25

P =

5.正規分布ふつう

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。452 から 560 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 500σ = 40x₁ = 452x₂ = 560

P =

6.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 500σ = 40P = 97.5%

x = h

7.信頼区間ふつう

10 個からなる標本の平均は 27、標準偏差は s = 5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 10x̄ = 27s = 590%t(9) = 1.833

上限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 9 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 9E = 0.595%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 505.8、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 505.8s = 8n = 16

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

25 回の測定の標本平均は 50.9 です。母標準偏差は 4 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 50.9σ = 4n = 2590%

U =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 21Σy = 125Σx² = 91Σy² = 2695Σxy = 401

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (2.5, 25) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(2.5, 25)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 17.23

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 235/7 = 33.57

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 8.429² + (−4.571)² + 25.43² + 12.43² + (−21.57)² + 0.4286² + (−20.57)² = 1782

標準偏差

s = √(1782/6) = 17.23

答え

s = 17.23

2.記述統計

答え: P = 0.1587

標準化する

z = −1

標準正規分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 0.1587

答え

P = 0.1587

3.確率

答え: σ = 0.8047

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

分散

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

答え

σ = 0.8047

4.確率

答え: P = 0.1584

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.75¹² = 0.03168

P(X = 1) = 12·0.25·0.75¹¹ = 0.1267

足し合わせる

P = 0.03168 + 0.1267 = 0.1584

答え

P = 0.1584

5.正規分布

答え: P = 0.8181

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (452 − 500)/40 = −1.2

z₂ = (560 − 500)/40 = 1.5

間の面積

P = Φ(1.5) − Φ(−1.2) = 0.9332 − 0.1151 = 0.8181

答え

P = 0.8181

6.正規分布

答え: x = 578.4 h

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

x に戻す

x = 500 + 1.96·40 = 578.4 h

答え

x = 578.4 h

7.信頼区間

答え: 上限 = 29.9

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 9, t = 1.833

誤差の幅

E = 1.833·5/√10 = 2.898

区間

27 ± 2.898 → [24.1, 29.9]

答え

上限 = 29.9

8.信頼区間

答え: n = 1245

n について解く

n = (1.96·9/0.5)² = 1245

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 1245

答え

n = 1245

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.9

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

検定統計量

t = (505.8 − 500)/2 = 2.9

答え

t = 2.9

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: U = 52.22

誤差の幅

E = 1.645·4/√25 = 1.316

区間の端

U = 50.9 + 1.316 = 52.22

答え

U = 52.22

11.線形回帰と相関

答え: r = −0.9155

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 401 − 21·125/6 = −36.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 2695 − 125²/6 = 90.83

相関係数

r = −36.5/√(17.5·90.83) = −0.9155

答え

r = −0.9155

12.線形回帰と相関

答え: e = 3.4

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

回帰直線

b = −24/10 = −2.4

a = 20.4 − (−2.4)·3 = 27.6

ŷ = 27.6 − 2.4·x

予測値

ŷ = 27.6 + (−2.4)·2.5 = 21.6

残差

e = 25 − 21.6 = 3.4

答え

e = 3.4

点は直線より上にあります。

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