統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：49, 26, 10, 28, 26, 53, 40。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 8 の正規分布に従います。186 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 8x = 186

z =

3.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.3, 0.2, 0.35

Var(X) =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 8 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.6 で正解します。ちょうど 1 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 8p = 0.6k = 1

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.1423 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.1423

z =

6.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.信頼区間ふつう

13 個からなる標本の平均は 54、標準偏差は s = 12 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 13x̄ = 54s = 1299%t(12) = 3.055

下限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 35 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 35E = 495%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 49 人の標本の平均点は 493.7、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 493.7s = 20n = 49

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

36 回の測定の標本平均は 50.1 です。母標準偏差は 4 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 50.1σ = 4n = 3699%

L =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 87 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 87

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 15.04

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 232/7 = 33.14

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 15.86² + (−7.143)² + (−23.14)² + (−5.143)² + (−7.143)² + 19.86² + 6.857² = 1357

標準偏差

s = √(1357/6) = 15.04

答え

s = 15.04

2.記述統計

答え: z = 2

標準化する

z = (186 − 170)/8 = 2

答え

z = 2

3.確率

答え: Var(X) = 118.8

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 10·0.15 + 20·0.3 + 30·0.2 + 40·0.35 = 27.5

2 乗の平均

E(X²) = 100·0.15 + 400·0.3 + 900·0.2 + 1600·0.35 = 875

分散

Var(X) = 875 − 27.5² = 118.8

答え

Var(X) = 118.8

4.確率

答え: P = 0.007864

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 1) = 8·0.6¹·0.4⁷ = 8·0.6·0.001638 = 0.007864

答え

P = 0.007864

5.正規分布

答え: z = 1.07

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.1423 = 0.8577

z 表を逆に読む

表の中で 0.8577 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.07

答え

z = 1.07

6.正規分布

答え: x = 241.8 g

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

x に戻す

x = 250 + −1.645·5 = 241.78 g

答え

x = 241.78 g

7.信頼区間

答え: 下限 = 43.83

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 12, t = 3.055

誤差の幅

E = 3.055·12/√13 = 10.17

区間

54 ± 10.17 → [43.83, 64.17]

答え

下限 = 43.83

8.信頼区間

答え: n = 295

n について解く

n = (1.96·35/4)² = 294.1

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 295

答え

n = 295

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.205

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

検定統計量

t = (493.7 − 500)/2.857 = −2.205

答え

t = −2.205

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 48.38

誤差の幅

E = 2.576·4/√36 = 1.717

区間の端

L = 50.1 − 1.717 = 48.38

答え

L = 48.38

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9837

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 374/5 = 74.8

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1615

相関係数

r = 250/√(40·1615) = 0.9837

答え

r = 0.9837

12.線形回帰と相関

答え: x = 11.96

平均

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 444/6 = 74

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230

回帰直線

b = 230/70 = 3.286

a = 74 − 3.286·8 = 47.71

ŷ = 47.71 + 3.286·x

x について解く

x = (87 − 47.71)/3.286 = 11.96

答え

x = 11.96

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