統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 21, 21, 19, 57。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。167.5 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 5x = 167.5

z =

3.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.15, 0.3, 0.25

Var(X) =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 6 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.4 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 6p = 0.4k = 5

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9177 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9177

z =

6.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。全体の 10% がそれより下にある値 x（第 10 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 65σ = 10P = 10%

x = 点

7.信頼区間ふつう

σ が既知のもとで 100 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 7 です。同じ研究で代わりに 400 個の観測値を使うと、誤差の幅 E₂ はいくらになりますか？

90%n₁ = 100E₁ = 7n₂ = 400

E₂ =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 9 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 9E = 290%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 81 人の標本の平均点は 73.8、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 73.8s = 12n = 81

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 20E = 295%

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (2.5, 24) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(2.5, 24)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 20.66

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 177/5 = 35.4

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 23.6² + (−14.4)² + (−14.4)² + (−16.4)² + 21.6² = 1707

標準偏差

s = √(1707/4) = 20.66

答え

s = 20.66

2.記述統計

答え: z = −0.5

標準化する

z = (167.5 − 170)/5 = −0.5

答え

z = −0.5

3.確率

答え: Var(X) = 1.35

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.3 + 1·0.15 + 2·0.3 + 3·0.25 = 1.5

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.15 + 4·0.3 + 9·0.25 = 3.6

分散

Var(X) = 3.6 − 1.5² = 1.35

答え

Var(X) = 1.35

4.確率

答え: P = 0.03686

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二項分布の公式

P(X = 5) = 6·0.4⁵·0.6¹ = 6·0.01024·0.6 = 0.03686

答え

P = 0.03686

5.正規分布

答え: z = −1.39

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.9177 = 0.0823

z 表を逆に読む

表の中で 0.0823 を見つけ、z を読み取ります。

z = −1.39

答え

z = −1.39

6.正規分布

答え: x = 52.18 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

x に戻す

x = 65 + −1.282·10 = 52.18 点

答え

x = 52.18 点

7.信頼区間

答え: E₂ = 3.5

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(100/400) = 0.5

新しい誤差の幅

E₂ = 7·0.5 = 3.5

答え

E₂ = 3.5

8.信頼区間

答え: n = 55

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·9/2)² = 54.8

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 55

答え

n = 55

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −0.9

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

検定統計量

t = (73.8 − 75)/1.333 = −0.9

答え

t = −0.9

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 385

n について解く

n = (1.96·20/2)² = 384.2

切り上げる

n = 385

答え

n = 385

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9363

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 241/5 = 48.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 288.8

決定係数

r² = 104²/(40·288.8) = 0.9363

答え

r² = 0.9363

y の変動の約 93.63% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: e = −1.8

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 124/5 = 24.8

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

回帰直線

b = −20/10 = −2

a = 24.8 − (−2)·3 = 30.8

ŷ = 30.8 − 2·x

予測値

ŷ = 30.8 + (−2)·2.5 = 25.8

残差

e = 24 − 25.8 = −1.8

答え

e = −1.8

点は直線より下にあります。

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