統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 15, 28, 39, 11, 37。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 50、標準偏差 8 の正規分布に従います。62 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 50σ = 8x = 62

P =

3.確率ふつう

公正なさいころを 8 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 8

P =

4.確率むずかしい

ゲームの参加費は €1 です。確率 0.15 で €5、確率 0.05 で €10 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €1€5: p = 0.15€10: p = 0.05

E(G) = €

5.正規分布ふつう

セメント袋の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 10 個の合計質量が 252.4 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 10> 252.4 kg

P =

6.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。全体の 80% がそれより下にある値 x（第 80 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 80%

x = 点

7.信頼区間ふつう

10 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 1.2、標準偏差は 1.9 です。差の平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 10d̄ = 1.2s_d = 1.999%t(9) = 3.25

E = mmHg

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 19 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 19E = 1.595%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 81 人の標本の平均点は 73.8、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 73.8s = 12n = 81

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 15 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 95%δ = 5σ = 15z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 33Σy = 268Σx² = 199Σy² = 12078Σxy = 1517

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (18.5, 65) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(18.5, 65)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 12.03

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 146/6 = 24.33

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−8.333)² + (−9.333)² + 3.667² + 14.67² + (−13.33)² + 12.67² = 723.3

標準偏差

s = √(723.3/5) = 12.03

答え

s = 12.03

2.記述統計

答え: P = 0.9332

標準化する

z = 1.5

標準正規分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

答え

P = 0.9332

3.確率

答え: P = 0.7674

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答え

P = 0.7674

4.確率

答え: E(G) = 0.25 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 4 (p = 0.15), 9 (p = 0.05), −1 (p = 0.8)

期待値

E(G) = 4·0.15 + 9·0.05 − 1·0.8 = 0.25 €

答え

E(G) = 0.25 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

5.正規分布

答え: P = 0.06426

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 250 kg, σ_T = 0.5·√10 = 1.581 kg

標準化する

z = (252.4 − 250)/1.581 = 1.52

確率

P = 1 − Φ(1.52) = 0.06426

答え

P = 0.06426

6.正規分布

答え: x = 112.6 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

x に戻す

x = 100 + 0.8416·15 = 112.62 点

答え

x = 112.62 点

7.信頼区間

答え: E = 1.953 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 9, t = 3.25

誤差の幅

E = 3.25·1.9/√10 = 1.953

答え

E = 1.953 mmHg

8.信頼区間

答え: n = 617

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·19/1.5)² = 616.4

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 617

答え

n = 617

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −0.9

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

検定統計量

t = (73.8 − 75)/1.333 = −0.9

答え

t = −0.9

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 142

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 1.645)·15/5)² = 141.9

切り上げる

n = 142

答え

n = 142

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9922

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 1517 − 33·268/6 = 43

S_xx = 199 − 33²/6 = 17.5

S_yy = 12078 − 268²/6 = 107.3

相関係数

r = 43/√(17.5·107.3) = 0.9922

答え

r = 0.9922

12.線形回帰と相関

答え: e = 2.719

平均

x̄ = 147/6 = 24.5

ȳ = 505/6 = 84.17

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 574.5

回帰直線

b = 574.5/157.5 = 3.648

a = 84.17 − 3.648·24.5 = −5.2

ŷ = −5.2 + 3.648·x

予測値

ŷ = −5.2 + 3.648·18.5 = 62.28

残差

e = 65 − 62.28 = 2.719

答え

e = 2.719

点は直線より上にあります。

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