記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：36, 47, 16, 20, 13, 21, 30。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 12 の正規分布に従います。85.6 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100σ = 12x = 85.6
P =
3.確率ふつう
公正なさいころを 2 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 2
P =
4.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 12 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.1 で正解します。ちょうど 3 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 12p = 0.1k = 3
P =
5.正規分布ふつう
箱 の質量は互いに独立で、平均 12 kg、標準偏差 0.8 kg の正規分布に従います。そのうち 4 個の合計質量が 50.4 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4> 50.4 kg
P =
6.正規分布むずかしい
袋の重さ は、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの上位 70% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 250 gσ = 5 g70%
x = g
7.信頼区間ふつう
13 個からなる標本の平均は 53.5、標準偏差は s = 14.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 13x̄ = 53.5s = 14.590%t(12) = 1.782
E =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 20 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 20E = 2.590%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：8 人の学生、平均点 67.5、標準偏差 10.5。グループ 2：9 人の学生、平均点 61.7、標準偏差 11。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 8x̄₁ = 67.5s₁ = 10.5n₂ = 9x̄₂ = 61.7s₂ = 11
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 80 対 H₁: μ < 80 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 18 であることがわかっています。実際の平均は 74.3 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 80μ = 74.3σ = 18n = 36α = 0.05
1 − β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 27Σy = 464Σx² = 139Σy² = 36896Σxy = 2218
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 21 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 21
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 12.16
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 183/7 = 26.14
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 9.857² + 20.86² + (−10.14)² + (−6.143)² + (−13.14)² + (−5.143)² + 3.857² = 886.9
標準偏差
s = √(886.9/6) = 12.16
答え
s = 12.16
2.記述統計
答え: P = 0.8849
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1.2
標準正規分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
答え
P = 0.8849
3.確率
答え: P = 0.3056
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答え
P = 0.3056
4.確率
答え: P = 0.08523
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 3) = 220·0.13·0.99 = 220·0.001·0.3874 = 0.08523
答え
P = 0.08523
5.正規分布
答え: P = 0.06681
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 48 kg, σT = 0.8·√4 = 1.6 kg
標準化する
z = (50.4 − 48)/1.6 = 1.5
確率
P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681
答え
P = 0.06681
6.正規分布
答え: x = 247.4 g
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.3
表からの z
z ≈ −0.52
元の単位に戻す
x = 250 − 0.52·5 = 247.4 g
答え
x = 247.4 g
7.信頼区間
答え: E = 7.166
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 12, t = 1.782
誤差の幅
E = 1.782·14.5/√13 = 7.166
答え
E = 7.166
8.信頼区間
答え: n = 174
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·20/2.5)² = 173.2
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 174
答え
n = 174
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.108
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散
sp² = (7·10.5² + 8·11²)/15 = 116
sp = 10.77
標準誤差
SE = 10.77·√(1/8 + 1/9) = 5.233
検定統計量
t = (67.5 − 61.7)/5.233 = 1.108
答え
t = 1.108
df = 15 のとき、両側 5% の臨界値は 2.131 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 60.06 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 80 − 1.645·3 = 75.06
真の平均のもとでの z
z = (75.06 − 74.3)/3 = 0.255
電力
検出力 = P(Z < 0.255) = 60.06%
1 − β = 60.06%
答え
1 − β = 60.06%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9762
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 2218 − 27·464/6 = 130
Sxx = 139 − 27²/6 = 17.5
Syy = 36896 − 464²/6 = 1013
相関係数
r = 130/√(17.5·1013) = 0.9762
答え
r = 0.9762
12.線形回帰と相関
答え: x = 9.005
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 104/6 = 17.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
回帰直線
b = 128/70 = 1.829
a = 17.33 − 1.829·7 = 4.533
ŷ = 4.533 + 1.829·x
x について解く
x = (21 − 4.533)/1.829 = 9.005
答え
x = 9.005
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