記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 34, 33, 45, 46, 16。
n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 12 の正規分布に従います。94 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 12x = 94
P =
3.確率ふつう
公正なさいころを 7 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 7
P =
4.確率むずかしい
部品を 6 個試験し、各部品は独立に確率 0.25 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 6p = 0.25
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9216 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.9216
z =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.信頼区間ふつう
13 個からなる標本の平均は 85、標準偏差は s = 17 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 13x̄ = 85s = 1795%t(12) = 2.179
上限 =
8.信頼区間むずかしい
予備調査によると、製品の約 0.7 が不良品です。 割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.04 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.7E = 0.0499%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
7 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 6.01、差の標準偏差は 10.6 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 7d̄ = 6.01sd = 10.6
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ < 500 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 25 であることがわかっています。実際の平均は 491 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500μ = 491σ = 25n = 100α = 0.01
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 30Σy = 77Σx² = 220Σy² = 1515Σxy = 576
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 11 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 11
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 13.28
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 190/6 = 31.67
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−15.67)² + 2.333² + 1.333² + 13.33² + 14.33² + (−15.67)² = 881.3
標準偏差
s = √(881.3/5) = 13.28
答え
s = 13.28
2.記述統計
答え: P = 0.9772
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 2
標準正規分布表
Φ(2) = 0.9772
P = 0.9772
答え
P = 0.9772
3.確率
答え: P = 0.7209
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
答え
P = 0.7209
4.確率
答え: P = 0.5339
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.756 = 0.178
P(X = 1) = 6·0.25·0.755 = 0.356
足し合わせる
P = 0.178 + 0.356 = 0.5339
答え
P = 0.5339
5.正規分布
答え: z = 1.76
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.9216)/2 = 0.9608
z 表を逆に読む
表の中で 0.9608 を見つけ、z を読み取ります。
z = 1.76
答え
z = 1.76
6.正規分布
答え: P = 0.7611
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02828 mm
標準化する
z = (0 − 0.02)/0.02828 = −0.71
確率
P = 1 − Φ(−0.71) = 0.7611
答え
P = 0.7611
7.信頼区間
答え: 上限 = 95.27
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 12, t = 2.179
誤差の幅
E = 2.179·17/√13 = 10.27
区間
85 ± 10.27 → [74.73, 95.27]
答え
上限 = 95.27
8.信頼区間
答え: n = 871
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 2.576²·0.7·0.3/0.04² = 870.9
切り上げる
n = 871
答え
n = 871
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.5
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
差の平均の標準誤差
SE = 10.6/√7 = 4.006
検定統計量
t = 6.01/4.006 = 1.5
答え
t = 1.5
df = 6 のとき、両側 5% の臨界値は 2.447 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 10.13 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 500 − 2.326·2.5 = 494.2
真の平均のもとでの z
z = (494.2 − 491)/2.5 = 1.274
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z < 1.274) = 89.87%
β = 100% − 89.87% = 10.13%
答え
β = 10.13%
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9934
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 576 − 30·77/5 = 114
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1515 − 77²/5 = 329.2
相関係数
r = 114/√(40·329.2) = 0.9934
答え
r = 0.9934
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 36.37
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 139/6 = 23.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231
回帰直線
b = 231/70 = 3.3
a = 23.17 − 3.3·7 = 0.06667
ŷ = 0.06667 + 3.3·x
予測
ŷ = 0.06667 + 3.3·11 = 36.37
答え
ŷ = 36.37
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