統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう
2025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：43, 41, 16, 20, 36, 54, 58。

n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 8 の正規分布に従います。158 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 8x = 158
P =
3.確率ふつう
P(少なくとも 1 回 6 が出る) = ??1?2?3?4?5?6?7?8P(6) = 各回 1/6

公正なさいころを 8 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 8
P =
4.確率むずかしい
€p(x)−100.88100.11900.02

ゲームの参加費は €10 です。確率 0.1 で €20、確率 0.02 で €200 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €10€20: p = 0.1€200: p = 0.02
E(G) = €
5.正規分布ふつう
640 g649.6 gT = X₁ + … + X₁₆?

ボルト の質量は互いに独立で、平均 40 g、標準偏差 1.2 g の正規分布に従います。そのうち 16 個の合計質量が 649.6 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 16> 649.6 g
P =
6.正規分布むずかしい
235240245250255260265g上端 85%

袋の重さ は、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの上位 85% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
7.信頼区間ふつう
n = 7, s = 4LU = ?x̄ = 26E95%

7 個からなる標本の平均は 26、標準偏差は s = 4 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 7x̄ = 26s = 495%t(6) = 2.447
上限 =
8.信頼区間むずかしい
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.599%

母標準偏差は 14 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 14E = 2.599%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.01102.011

学生 49 人の標本の平均点は 56、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 56s = 20n = 49
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.64501.645

81 回の測定の標本平均は 122 です。母標準偏差は 15 です。平均の 90% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 122σ = 15n = 8190%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
xy1453565737809861198xy5106080100

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 36Σy = 438Σx² = 286Σy² = 33890Σxy = 2990
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
xy356460564663773871xy4686070x = 7.5

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (7.5, 67) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(7.5, 67)
e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 15.82

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 268/7 = 38.29

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 4.714² + 2.714² + (−22.29)² + (−18.29)² + (−2.286)² + 15.71² + 19.71² = 1501

標準偏差

s = √(1501/6) = 15.82

答え

s = 15.82
2.記述統計

答え: P = 0.06681

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −1.5

標準正規分布表

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681

答え

P = 0.06681
3.確率

答え: P = 0.7674

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答え

P = 0.7674
4.確率

答え: E(G) = −4 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 10 (p = 0.1), 190 (p = 0.02), −10 (p = 0.88)

期待値

E(G) = 10·0.1 + 190·0.02 − 10·0.88 = −4 €

答え

E(G) = −4 €

負の値は、平均して損をすることを意味します。

5.正規分布

答え: P = 0.02275

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μT = 640 g, σT = 1.2·√16 = 4.8 g

標準化する

z = (649.6 − 640)/4.8 = 2

確率

P = 1 − Φ(2) = 0.02275

答え

P = 0.02275
6.正規分布

答え: x = 244.8 g

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.15

表からの z

z ≈ −1.04

元の単位に戻す

x = 250 − 1.04·5 = 244.8 g

答え

x = 244.8 g
7.信頼区間

答え: 上限 = 29.7

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 6, t = 2.447

誤差の幅

E = 2.447·4/√7 = 3.7

区間

26 ± 3.7 → [22.3, 29.7]

答え

上限 = 29.7
8.信頼区間

答え: n = 209

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·14/2.5)² = 208.1

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 209

答え

n = 209
9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

検定統計量

t = (56 − 50)/2.857 = 2.1

答え

t = 2.1
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 119.3

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 1.645·15/√81 = 2.742

区間の端

L = 122 − 2.742 = 119.3

答え

L = 119.3
11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9885

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

Sxy = 2990 − 36·438/6 = 362
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 33890 − 438²/6 = 1916

相関係数

r = 362/√(70·1916) = 0.9885

答え

r = 0.9885
12.線形回帰と相関

答え: e = −3.957

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 387/6 = 64.5

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56.5

回帰直線

b = 56.5/17.5 = 3.229
a = 64.5 − 3.229·5.5 = 46.74
ŷ = 46.74 + 3.229·x

予測値

ŷ = 46.74 + 3.229·7.5 = 70.96

残差

e = 67 − 70.96 = −3.957

答え

e = −3.957

点は直線より下にあります。

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