記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 55, 50, 31, 10, 53, 45。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 25 の正規分布に従います。531.3 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 25x = 531.3
z =
3.確率ふつう
8 人のグループから 3 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 8k = 3
N =
4.確率むずかしい
X は示された分布をもち、Y = 0.5X + 5 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.05, 0.35, 0.35Y = 0.5X + 5
σY =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.1867 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.1867
z =
6.正規分布むずかしい
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
7.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 25 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 3.8 です。 同じデータから求めた 90% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
95%n₁ = 25E₁ = 3.890%
E₂ =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 25 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 25E = 599%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 73.2、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 73.2s = 12n = 36
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
64 回の測定の標本平均は 47 です。母標準偏差は 20 です。平均の 90% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 47σ = 20n = 6490%
L =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 30Σy = 45Σx² = 220Σy² = 475Σxy = 322
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (2.5, 55) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(2.5, 55)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 15.81
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 283/7 = 40.43
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−1.429)² + 14.57² + 9.571² + (−9.429)² + (−30.43)² + 12.57² + 4.571² = 1500
標準偏差
s = √(1500/6) = 15.81
答え
s = 15.81
2.記述統計
答え: z = 1.25
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (531.3 − 500)/25 = 1.25
答え
z = 1.25
3.確率
答え: N = 56
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56
答え
N = 56
4.確率
答え: σY = 0.5831
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
X のばらつき
μ = 1.8, Var(X) = 1.36, σX = 1.166
一次変換
σY = |0.5|·1.166 = 0.5831
答え
σY = 0.5831
平均は変化します：E(Y) = 0.5·1.8 + 5 = 5.9。
5.正規分布
答え: z = 0.89
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = 1 − 0.1867 = 0.8133
z 表を逆に読む
表の中で 0.8133 を見つけ、z を読み取ります。
z = 0.89
答え
z = 0.89
6.正規分布
答え: x = 22.13 min
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
x に戻す
x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min
答え
x = 22.13 min
7.信頼区間
答え: E₂ = 3.189
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(25/25) = 0.8393
新しい誤差の幅
E₂ = 3.8·0.8393 = 3.189
答え
E₂ = 3.189
8.信頼区間
答え: n = 166
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·25/5)² = 165.9
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 166
答え
n = 166
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.9
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
検定統計量
t = (73.2 − 75)/2 = −0.9
答え
t = −0.9
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
10.仮説検定と信頼区間
答え: L = 42.89
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 1.645·20/√64 = 4.112
区間の端
L = 47 − 4.112 = 42.89
答え
L = 42.89
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9827
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 322 − 30·45/5 = 52
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 475 − 45²/5 = 70
相関係数
r = 52/√(40·70) = 0.9827
答え
r = 0.9827
12.線形回帰と相関
答え: e = −1.95
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 335/5 = 67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67
回帰直線
b = 67/10 = 6.7
a = 67 − 6.7·4 = 40.2
ŷ = 40.2 + 6.7·x
予測値
ŷ = 40.2 + 6.7·2.5 = 56.95
残差
e = 55 − 56.95 = −1.95
答え
e = −1.95
点は直線より下にあります。
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