統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：49, 43, 22, 22, 13, 29, 31。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 12 の正規分布に従います。185 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 12x = 185

z =

3.確率ふつう

袋に赤玉 7 個と青玉 8 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

7 / 8

P =

4.確率むずかしい

部品を 10 個試験し、各部品は独立に確率 0.25 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 10p = 0.25

P =

5.正規分布ふつう

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。454 から 582 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 500σ = 40x₁ = 454x₂ = 582

P =

6.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 10% がそれより下にある値 x（第 10 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

7.信頼区間ふつう

9 個からなる標本の平均は 26.5、標準偏差は s = 16.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 9x̄ = 26.5s = 16.595%t(8) = 2.306

上限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 32 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 32E = 595%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

2 つの指導法を比べます。グループ 1：11 人の学生、平均点 61、標準偏差 4.5。グループ 2：5 人の学生、平均点 51.6、標準偏差 6。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 11x̄₁ = 61s₁ = 4.5n₂ = 5x̄₂ = 51.6s₂ = 6

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 2.5 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 9 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 90%δ = 2.5σ = 9z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 6 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 7 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 5x = 7

ŷ =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 12.58

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 209/7 = 29.86

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 19.14² + 13.14² + (−7.857)² + (−7.857)² + (−16.86)² + (−0.8571)² + 1.143² = 948.9

標準偏差

s = √(948.9/6) = 12.58

答え

s = 12.58

2.記述統計

答え: z = 1.25

標準化する

z = (185 − 170)/12 = 1.25

答え

z = 1.25

3.確率

答え: P = 0.2

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0.2

答え

P = 0.2

4.確率

答え: P = 0.244

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.75¹⁰ = 0.05631

P(X = 1) = 10·0.25·0.75⁹ = 0.1877

足し合わせる

P = 0.05631 + 0.1877 = 0.244

答え

P = 0.244

5.正規分布

答え: P = 0.8547

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (454 − 500)/40 = −1.15

z₂ = (582 − 500)/40 = 2.05

間の面積

P = Φ(2.05) − Φ(−1.15) = 0.9798 − 0.1251 = 0.8547

答え

P = 0.8547

6.正規分布

答え: x = 448.7 h

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

x に戻す

x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h

答え

x = 448.74 h

7.信頼区間

答え: 上限 = 39.18

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 8, t = 2.306

誤差の幅

E = 2.306·16.5/√9 = 12.68

区間

26.5 ± 12.68 → [13.82, 39.18]

答え

上限 = 39.18

8.信頼区間

答え: n = 158

n について解く

n = (1.96·32/5)² = 157.4

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 158

答え

n = 158

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 3.503

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

s_p² = (10·4.5² + 4·6²)/14 = 24.75

s_p = 4.975

標準誤差

SE = 4.975·√(1/11 + 1/5) = 2.683

検定統計量

t = (61 − 51.6)/2.683 = 3.503

答え

t = 3.503

df = 14 のとき、両側 5% の臨界値は 2.145 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 169

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 1.282)·9/2.5)² = 168.7

切り上げる

n = 169

答え

n = 169

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9728

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 585/6 = 97.5

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 377

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2146

相関係数

r = 377/√(70·2146) = 0.9728

答え

r = 0.9728

12.線形回帰と相関

答え: ŷ = 23.25

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 102/5 = 20.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

回帰直線

b = 114/40 = 2.85

a = 20.4 − 2.85·6 = 3.3

ŷ = 3.3 + 2.85·x

予測

ŷ = 3.3 + 2.85·7 = 23.25

答え

ŷ = 23.25

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