統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：50, 44, 41, 55, 59。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 10 の正規分布に従います。158 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 10x = 158

z =

3.確率ふつう

7 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 7k = 4

N =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 6 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.1 で正解します。ちょうど 4 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 6p = 0.1k = 4

P =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.4843 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.4843

z =

6.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。全体の 25% がそれより下にある値 x（第 25 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 25%

x = 点

7.信頼区間ふつう

12 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 4.3、標準偏差は 5.9 です。差の平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 12d̄ = 4.3s_d = 5.995%t(11) = 2.201

E = mmHg

8.信頼区間むずかしい

機械加工した 20 本の軸の直径の標本標準偏差は 5.7 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 19 のとき、χ² 分布の 2.5% は 8.907 より下に、2.5% は 32.852 より上にあります。

n = 20s = 5.7 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 64 人の標本の平均点は 57.25、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 57.25s = 20n = 64

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

64 回の測定の標本平均は 118.3 です。母標準偏差は 12 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 118.3σ = 12n = 6499%

U =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (4.5, 47) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(4.5, 47)

e =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 7.463

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 249/5 = 49.8

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 0.2² + (−5.8)² + (−8.8)² + 5.2² + 9.2² = 222.8

標準偏差

s = √(222.8/4) = 7.463

答え

s = 7.463

2.記述統計

答え: z = −1.2

標準化する

z = (158 − 170)/10 = −1.2

答え

z = −1.2

3.確率

答え: N = 35

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

答え

N = 35

4.確率

答え: P = 0.001215

二項分布の公式

P(X = 4) = 15·0.1⁴·0.9² = 15·0.0001·0.81 = 0.001215

答え

P = 0.001215

5.正規分布

答え: z = 0.65

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.4843)/2 = 0.7422

z 表を逆に読む

表の中で 0.7422 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.65

答え

z = 0.65

6.正規分布

答え: x = 89.88 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

x に戻す

x = 100 + −0.6745·15 = 89.88 点

答え

x = 89.88 点

7.信頼区間

答え: E = 3.749 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 11, t = 2.201

誤差の幅

E = 2.201·5.9/√12 = 3.749

答え

E = 3.749 mmHg

8.信頼区間

答え: σ = 4.335 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 19·5.7² = 617.3

σ² の限界

617.3/32.852 = 18.79

617.3/8.907 = 69.31

σ の限界

σ = √18.79 = 4.335 µm

答え

σ = 4.335 µm

σ の 95% 区間：[4.335, 8.325] µm。

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.9

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

検定統計量

t = (57.25 − 50)/2.5 = 2.9

答え

t = 2.9

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: U = 122.2

誤差の幅

E = 2.576·12/√64 = 3.864

区間の端

U = 118.3 + 3.864 = 122.2

答え

U = 122.2

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9155

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 194/6 = 32.33

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 229.3

相関係数

r = 58/√(17.5·229.3) = 0.9155

答え

r = 0.9155

12.線形回帰と相関

答え: e = 4.833

平均

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 253/6 = 42.17

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58.5

回帰直線

b = 58.5/17.5 = 3.343

a = 42.17 − 3.343·4.5 = 27.12

ŷ = 27.12 + 3.343·x

予測値

ŷ = 27.12 + 3.343·4.5 = 42.17

残差

e = 47 − 42.17 = 4.833

答え

e = 4.833

点は直線より上にあります。

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