記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：55, 14, 18, 18, 31, 50, 57。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。50.4 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 12x = 50.4
z =
3.確率ふつう
袋に赤玉 5 個と青玉 9 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
5 / 9
P =
4.確率むずかしい
ゲームの参加費は €1 です。確率 0.15 で €4、確率 0.01 で €20 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €1€4: p = 0.15€20: p = 0.01
E(G) = €
5.正規分布ふつう
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。27.5 から 41.3 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 32σ = 6x1 = 27.5x2 = 41.3
P =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.信頼区間ふつう
12 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 9.7、標準偏差は 7.4 です。 差の平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 12d̄ = 9.7sd = 7.495%t(11) = 2.201
E = mmHg
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 6 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 6E = 0.590%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 64 人の標本の平均点は 195.9、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 195.9s = 15n = 64
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 2 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 7 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 90%δ = 2σ = 7zα = 2.326zβ = 1.282
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 21 と予測するのは、どの値 x のときですか？
n = 6ŷ = 21
x =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 18.9
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 243/7 = 34.71
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 20.29² + (−20.71)² + (−16.71)² + (−16.71)² + (−3.714)² + 15.29² + 22.29² = 2143
標準偏差
s = √(2143/6) = 18.9
答え
s = 18.9
2.記述統計
答え: z = −0.8
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (50.4 − 60)/12 = −0.8
答え
z = −0.8
3.確率
答え: P = 0.1099
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0.1099
答え
P = 0.1099
4.確率
答え: E(G) = −0.2 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 3 (p = 0.15), 19 (p = 0.01), −1 (p = 0.84)
期待値
E(G) = 3·0.15 + 19·0.01 − 1·0.84 = −0.2 €
答え
E(G) = −0.2 €
負の値は、平均して損をすることを意味します。
5.正規分布
答え: P = 0.7128
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (27.5 − 32)/6 = −0.75
z₂ = (41.3 − 32)/6 = 1.55
間の面積
P = Φ(1.55) − Φ(−0.75) = 0.9394 − 0.2266 = 0.7128
答え
P = 0.7128
6.正規分布
答え: P = 0.9452
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.025 mm
標準化する
z = (0 − 0.04)/0.025 = −1.6
確率
P = 1 − Φ(−1.6) = 0.9452
答え
P = 0.9452
7.信頼区間
答え: E = 4.702 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
臨界値
df = 11, t = 2.201
誤差の幅
E = 2.201·7.4/√12 = 4.702
答え
E = 4.702 mmHg
8.信頼区間
答え: n = 390
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·6/0.5)² = 389.7
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 390
答え
n = 390
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.187
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875
検定統計量
t = (195.9 − 200)/1.875 = −2.187
答え
t = −2.187
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 160
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 1.282)·7/2)² = 159.5
切り上げる
n = 160
答え
n = 160
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9165
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 256/6 = 42.67
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70
Syy = Σ(y − ȳ)² = 333.3
相関係数
r = 70/√(17.5·333.3) = 0.9165
答え
r = 0.9165
12.線形回帰と相関
答え: x = 1.594
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 93/6 = 15.5
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50.5
回帰直線
b = −50.5/17.5 = −2.886
a = 15.5 − (−2.886)·3.5 = 25.6
ŷ = 25.6 − 2.886·x
x について解く
x = (21 − 25.6)/(−2.886) = 1.594
答え
x = 1.594
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