統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：37, 20, 39, 26, 49, 18, 57。

n = 7

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従います。62 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 10x = 62

P =

3.確率ふつう

袋に赤玉 3 個と青玉 3 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

3 / 3

P =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 2X + 20 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.1, 0.15, 0.3, 0.3Y = 2X + 20

σ_Y =

5.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.4313 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.4313

z =

6.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 25% がそれより下にある値 x（第 25 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

7.信頼区間ふつう

11 個からなる標本の平均は 11、標準偏差は s = 10.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 11x̄ = 11s = 10.590%t(10) = 1.812

E =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 23 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 23E = 195%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 49 人の標本の平均点は 126、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 126s = 20n = 49

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 2 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 13 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 80%δ = 2σ = 13z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 42Σy = 124Σx² = 364Σy² = 2892Σxy = 1018

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 15 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 5ŷ = 15

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 14.69

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 246/7 = 35.14

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 1.857² + (−15.14)² + 3.857² + (−9.143)² + 13.86² + (−17.14)² + 21.86² = 1295

標準偏差

s = √(1295/6) = 14.69

答え

s = 14.69

2.記述統計

答え: P = 0.2119

標準化する

z = −0.8

標準正規分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

答え

P = 0.2119

3.確率

答え: P = 0.2

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0.2

答え

P = 0.2

4.確率

答え: σ_Y = 2.793

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 2.5, Var(X) = 1.95, σ_X = 1.396

一次変換

σ_Y = |2|·1.396 = 2.793

答え

σ_Y = 2.793

平均は変化します：E(Y) = 2·2.5 + 20 = 25。

5.正規分布

答え: z = 0.57

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.4313)/2 = 0.7157

z 表を逆に読む

表の中で 0.7157 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.57

答え

z = 0.57

6.正規分布

答え: x = 173.3 cm

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

x に戻す

x = 178 + −0.6745·7 = 173.28 cm

答え

x = 173.28 cm

7.信頼区間

答え: E = 5.737

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 10, t = 1.812

誤差の幅

E = 1.812·10.5/√11 = 5.737

答え

E = 5.737

8.信頼区間

答え: n = 2033

n について解く

n = (1.96·23/1)² = 2032

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 2033

答え

n = 2033

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

検定統計量

t = (126 − 120)/2.857 = 2.1

答え

t = 2.1

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: n = 262

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 0.842)·13/2)² = 261.3

切り上げる

n = 262

答え

n = 262

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9879

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 1018 − 42·124/6 = 150

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2892 − 124²/6 = 329.3

相関係数

r = 150/√(70·329.3) = 0.9879

答え

r = 0.9879

12.線形回帰と相関

答え: x = 2.944

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 130/5 = 26

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

回帰直線

b = 144/40 = 3.6

a = 26 − 3.6·6 = 4.4

ŷ = 4.4 + 3.6·x

x について解く

x = (15 − 4.4)/3.6 = 2.944

答え

x = 2.944

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1