統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：23, 50, 19, 39, 35。

n = 5

s =

2.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 500、標準偏差 60 の正規分布に従います。440 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 500σ = 60x = 440

z =

3.確率ふつう

公正なさいころを 3 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 3

P =

4.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 11 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.25 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.25k = 2

P =

5.正規分布ふつう

X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 754.9 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754.9 g

P =

6.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの上位 20% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

7.信頼区間ふつう

9 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −7.2、標準偏差は 4.5 です。差の平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 9d̄ = −7.2s_d = 4.599%t(8) = 3.355

E = mmHg

8.信頼区間むずかしい

機械加工した 20 本の軸の直径の標本標準偏差は 6.6 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 19 のとき、χ² 分布の 2.5% は 8.907 より下に、2.5% は 32.852 より上にあります。

n = 20s = 6.6 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 49 人の標本の平均点は 101、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 101s = 10n = 49

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

36 回の測定の標本平均は 493 です。母標準偏差は 20 です。平均の 95% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 493σ = 20n = 3695%

L =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 6 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6

r =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 72 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 5ŷ = 72

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 12.5

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 166/5 = 33.2

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−10.2)² + 16.8² + (−14.2)² + 5.8² + 1.8² = 624.8

標準偏差

s = √(624.8/4) = 12.5

答え

s = 12.5

2.記述統計

答え: z = −1

標準化する

z = (440 − 500)/60 = −1

答え

z = −1

3.確率

答え: P = 0.4213

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

答え

P = 0.4213

4.確率

答え: P = 0.2581

二項分布の公式

P(X = 2) = 55·0.25²·0.75⁹ = 55·0.0625·0.07508 = 0.2581

答え

P = 0.2581

5.正規分布

答え: P = 0.3085

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

標準化する

z = (754.9 − 750)/9.849 = 0.5

上側確率

P = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085

答え

P = 0.3085

6.正規分布

答え: x = 254.2 g

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.8

表からの z

z ≈ 0.84

元の単位に戻す

x = 250 + 0.84·5 = 254.2 g

答え

x = 254.2 g

7.信頼区間

答え: E = 5.032 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 8, t = 3.355

誤差の幅

E = 3.355·4.5/√9 = 5.032

答え

E = 5.032 mmHg

8.信頼区間

答え: σ = 5.019 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 19·6.6² = 827.6

σ² の限界

827.6/32.852 = 25.19

827.6/8.907 = 92.92

σ の限界

σ = √25.19 = 5.019 µm

答え

σ = 5.019 µm

σ の 95% 区間：[5.019, 9.64] µm。

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = 0.7

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429

検定統計量

t = (101 − 100)/1.429 = 0.7

答え

t = 0.7

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 486.5

誤差の幅

E = 1.96·20/√36 = 6.533

区間の端

L = 493 − 6.533 = 486.5

答え

L = 486.5

11.線形回帰と相関

答え: r = 0.9901

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 714/6 = 119

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 852

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4702

相関係数

r = 852/√(157.5·4702) = 0.9901

答え

r = 0.9901

12.線形回帰と相関

答え: x = 19.46

平均

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 475/5 = 95

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 456

回帰直線

b = 456/90 = 5.067

a = 95 − 5.067·24 = −26.6

ŷ = −26.6 + 5.067·x

x について解く

x = (72 − (−26.6))/5.067 = 19.46

答え

x = 19.46

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