統計学入門：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：15, 17, 31, 35, 41, 35。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 70、標準偏差 20 の正規分布に従います。82 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 70σ = 20x = 82

P =

3.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.15, 0.35, 0.35

σ =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 5X + 10 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.15, 0.2, 0.35Y = 5X + 10

σ_Y =

5.正規分布ふつう

X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 762.3 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762.3 g

P =

6.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.信頼区間ふつう

8 個からなる標本の平均は 98.5、標準偏差は s = 15.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 8x̄ = 98.5s = 15.590%t(7) = 1.895

下限 =

8.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 26 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 26E = 190%

n =

9.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 92.25、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 92.25s = 10n = 16

t =

10.仮説検定と信頼区間むずかしい

36 回の測定の標本平均は 96.4 です。母標準偏差は 8 です。平均の 95% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 96.4σ = 8n = 3695%

L =

11.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

12.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 67 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 5ŷ = 67

x =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 10.58

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 174/6 = 29

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−14)² + (−12)² + 2² + 6² + 12² + 6² = 560

標準偏差

s = √(560/5) = 10.58

答え

s = 10.58

2.記述統計

答え: P = 0.7257

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答え

P = 0.7257

3.確率

答え: σ = 1.044

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.15 + 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.35 = 1.9

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.35 = 4.7

分散

Var(X) = 4.7 − 1.9² = 1.09

σ = √1.09 = 1.044

答え

σ = 1.044

4.確率

答え: σ_Y = 6.205

X のばらつき

μ = 1.6, Var(X) = 1.54, σ_X = 1.241

一次変換

σ_Y = |5|·1.241 = 6.205

答え

σ_Y = 6.205

平均は変化します：E(Y) = 5·1.6 + 10 = 18。

5.正規分布

答え: P = 0.1056

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

標準化する

z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25

上側確率

P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056

答え

P = 0.1056

6.正規分布

答え: P = 0.8413

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

7.信頼区間

答え: 下限 = 88.12

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 7, t = 1.895

誤差の幅

E = 1.895·15.5/√8 = 10.38

区間

98.5 ± 10.38 → [88.12, 108.9]

答え

下限 = 88.12

8.信頼区間

答え: n = 1830

n について解く

n = (1.645·26/1)² = 1829

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 1830

答え

n = 1830

9.仮説検定と信頼区間

答え: t = −3.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

検定統計量

t = (92.25 − 100)/2.5 = −3.1

答え

t = −3.1

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

10.仮説検定と信頼区間

答え: L = 93.79

誤差の幅

E = 1.96·8/√36 = 2.613

区間の端

L = 96.4 − 2.613 = 93.79

答え

L = 93.79

11.線形回帰と相関

答え: r² = 0.7845

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 188/5 = 37.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 165.2

決定係数

r² = 36²/(10·165.2) = 0.7845

答え

r² = 0.7845

y の変動の約 78.45% が直線で説明されます。

12.線形回帰と相関

答え: x = 9.053

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 277/5 = 55.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

回帰直線

b = 152/40 = 3.8

a = 55.4 − 3.8·6 = 32.6

ŷ = 32.6 + 3.8·x

x について解く

x = (67 − 32.6)/3.8 = 9.053

答え

x = 9.053

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