記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：35, 27, 43, 17, 23, 21, 56。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。82 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 8x = 82
P =
3.確率ふつう
8 人のグループから 2 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
n = 8k = 2
N =
4.確率むずかしい
部品を 8 個試験し、各部品は独立に確率 0.25 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 8p = 0.25
P =
5.正規分布ふつう
X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 762.3 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762.3 g
P =
6.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.信頼区間ふつう
10 個からなる標本の平均は 13.5、標準偏差は s = 9 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 10x̄ = 13.5s = 999%t(9) = 3.25
E =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 32 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 32E = 395%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 198.2、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 198.2s = 4n = 49
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 3 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 26 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 80%δ = 3σ = 26zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 25Σy = 365Σx² = 165Σy² = 28055Σxy = 2059
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (1.5, 16) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(1.5, 16)
e =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 13.89
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 222/7 = 31.71
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 3.286² + (−4.714)² + 11.29² + (−14.71)² + (−8.714)² + (−10.71)² + 24.29² = 1157
標準偏差
s = √(1157/6) = 13.89
答え
s = 13.89
2.記述統計
答え: P = 0.9332
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1.5
標準正規分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答え
P = 0.9332
3.確率
答え: N = 28
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
組合せ
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
答え
N = 28
4.確率
答え: P = 0.3671
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.758 = 0.1001
P(X = 1) = 8·0.25·0.757 = 0.267
足し合わせる
P = 0.1001 + 0.267 = 0.3671
答え
P = 0.3671
5.正規分布
答え: P = 0.1056
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
標準化する
z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25
上側確率
P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056
答え
P = 0.1056
6.正規分布
答え: P = 0.8133
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm
標準化する
z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89
確率
P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133
答え
P = 0.8133
7.信頼区間
答え: E = 9.25
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 9, t = 3.25
誤差の幅
E = 3.25·9/√10 = 9.25
答え
E = 9.25
8.信頼区間
答え: n = 438
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·32/3)² = 437.1
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 438
答え
n = 438
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = −3.15
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714
検定統計量
t = (198.2 − 200)/0.5714 = −3.15
答え
t = −3.15
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: n = 754
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 0.842)·26/3)² = 753.8
切り上げる
n = 754
答え
n = 754
11.線形回帰と相関
答え: r = 0.9853
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 2059 − 25·365/5 = 234
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 28055 − 365²/5 = 1410
相関係数
r = 234/√(40·1410) = 0.9853
答え
r = 0.9853
12.線形回帰と相関
答え: e = −4.9
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 88/5 = 17.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
回帰直線
b = −22/10 = −2.2
a = 17.6 − (−2.2)·3 = 24.2
ŷ = 24.2 − 2.2·x
予測値
ŷ = 24.2 + (−2.2)·1.5 = 20.9
残差
e = 16 − 20.9 = −4.9
答え
e = −4.9
点は直線より下にあります。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1