記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
統計学入門：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2演習問題
1.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：19, 40, 58, 38, 25, 37, 31。
n = 7
s =
2.記述統計むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 12 の正規分布に従います。38 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50σ = 12x = 38
P =
3.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.1, 0.2, 0.25
Var(X) =
4.確率むずかしい
部品を 6 個試験し、各部品は独立に確率 0.25 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？
n = 6p = 0.25
P =
5.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.2737 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.2737
z =
6.正規分布むずかしい
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
7.信頼区間ふつう
9 個からなる標本の平均は 10.5、標準偏差は s = 18 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 9x̄ = 10.5s = 1895%t(8) = 2.306
下限 =
8.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 39 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 39E = 0.590%
n =
9.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 501.1、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 501.1s = 5n = 100
t =
10.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 10 であることがわかっています。実際の平均は 97.4 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 100μ = 97.4σ = 10n = 100α = 0.01
β = %
11.線形回帰と相関ふつう
表は x = 車の年数（年） と y = 価格（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6
r =
12.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 3 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 3
ŷ =
3溶液
1.記述統計
答え: s = 12.5
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 248/7 = 35.43
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−16.43)² + 4.571² + 22.57² + 2.571² + (−10.43)² + 1.571² + (−4.429)² = 937.7
標準偏差
s = √(937.7/6) = 12.5
答え
s = 12.5
2.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1
標準正規分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答え
P = 0.1587
3.確率
答え: Var(X) = 2.69
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.35 + 1·0.1 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.25 = 1.9
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.1 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.25 = 6.3
分散
Var(X) = 6.3 − 1.9² = 2.69
答え
Var(X) = 2.69
4.確率
答え: P = 0.5339
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
故障 0 個と 1 個
P(X = 0) = 0.756 = 0.178
P(X = 1) = 6·0.25·0.755 = 0.356
足し合わせる
P = 0.178 + 0.356 = 0.5339
答え
P = 0.5339
5.正規分布
答え: z = 0.35
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.2737)/2 = 0.6368
z 表を逆に読む
表の中で 0.6368 を見つけ、z を読み取ります。
z = 0.35
答え
z = 0.35
6.正規分布
答え: x = 187 cm
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
x に戻す
x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm
答え
x = 186.97 cm
7.信頼区間
答え: 下限 = −3.336
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 8, t = 2.306
誤差の幅
E = 2.306·18/√9 = 13.84
区間
10.5 ± 13.84 → [−3.336, 24.34]
答え
下限 = −3.336
8.信頼区間
答え: n = 16464
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·39/0.5)² = 16463
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 16464
答え
n = 16464
9.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
検定統計量
t = (501.1 − 500)/0.5 = 2.2
答え
t = 2.2
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
10.仮説検定と信頼区間
答え: β = 39.2 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 100 − 2.326·1 = 97.67
真の平均のもとでの z
z = (97.67 − 97.4)/1 = 0.274
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z < 0.274) = 60.8%
β = 100% − 60.8% = 39.2%
答え
β = 39.2%
11.線形回帰と相関
答え: r = −0.9898
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 127/6 = 21.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −57.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 192.8
相関係数
r = −57.5/√(17.5·192.8) = −0.9898
答え
r = −0.9898
12.線形回帰と相関
答え: ŷ = 36.72
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 305/6 = 50.83
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 247
回帰直線
b = 247/70 = 3.529
a = 50.83 − 3.529·7 = 26.13
ŷ = 26.13 + 3.529·x
予測
ŷ = 26.13 + 3.529·3 = 36.72
答え
ŷ = 36.72
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1